Fazendo uma mudança de variável, determine as raízes reais das equações.
x^{4}-24 x^{2}-25=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as raízes reais da equação
x^{4}-24x^{2}-25=0.
Informações dadas: é um polinômio de grau quatro em x. A tarefa é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Observação e ideia (sem resolver ainda): quando uma equação envolve apenas potências pares de x (aqui aparecem x^{4} e x^{2}), é muito útil fazer a mudança de variável \;t=x^{2}\;. Isso transforma a equação em uma equação quadrática em t, que sabemos resolver com fórmulas simples. Vou aplicar essa ideia agora.

Passo 3

Faça a substituição \;t=x^{2}. Substituindo na equação obtemos
t^{2}-24t-25=0.

Passo 4

Resolver a quadrática t^{2}-24t-25=0 usando a fórmula quadrática. Para uma equação at^{2}+bt+c=0 a solução é
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=1, b=-24 e c=-25 no nosso caso. Calcule o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-24)^{2}-4\cdot1\cdot(-25)=576+100=676.
Como \sqrt{676}=26, temos
t=\frac{24\pm26}{2}.
Portanto as soluções para t são
t_{1}=\frac{24+26}{2}=\frac{50}{2}=25,
t_{2}=\frac{24-26}{2}=\frac{-2}{2}=-1.

Passo 5

Lembrando que t=x^{2}, devemos ter t\ge 0 para x real. Assim t_{2}=-1 não gera raízes reais (pois não existe x\in\mathbb{R} com x^{2}=-1). Portanto só resta
x^{2}=25.

Passo 6

Resolver x^{2}=25. Tirando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades, positiva e negativa), obtemos
x=5\quad\text{ou}\quad x=-5.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar): para x=5,
5^{4}-24\cdot5^{2}-25 = 625-600-25=0,
e para x=-5 os termos são iguais porque só aparecem potências pares, logo também dá 0. Portanto ambas são raízes reais válidas.

Passo 8

Comentário extra (dica para prova): outra forma é notar a fatoração
x^{4}-24x^{2}-25=(x^{2}-25)(x^{2}+1),
que imediatamente dá x^{2}=25 ou x^{2}=-1. A segunda não fornece raízes reais, e a primeira dá x=\pm5. Para equações do tipo x^{4}+bx^{2}+c=0 use sempre a mudança t=x^{2}; é rápido e confiável.

Resposta

x=5
x=-5

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