Fazendo uma mudança de variável, determine as raízes reais das equações.
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as raízes reais da equação
Informações dadas: é um polinômio de grau quatro em
. A tarefa é encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Observação e ideia (sem resolver ainda): quando uma equação envolve apenas potências pares de
(aqui aparecem
e
), é muito útil fazer a mudança de variável
. Isso transforma a equação em uma equação quadrática em
, que sabemos resolver com fórmulas simples. Vou aplicar essa ideia agora.
Passo 3
Faça a substituição
. Substituindo na equação obtemos
Passo 4
Resolver a quadrática
usando a fórmula quadrática. Para uma equação
a solução é
onde
,
e
no nosso caso. Calcule o discriminante:
Como
, temos
Portanto as soluções para
são
Passo 5
Lembrando que
, devemos ter
para
real. Assim
não gera raízes reais (pois não existe
com
). Portanto só resta
Passo 6
Resolver
. Tirando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades, positiva e negativa), obtemos
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar): para
,
e para
os termos são iguais porque só aparecem potências pares, logo também dá
. Portanto ambas são raízes reais válidas.
Passo 8
Comentário extra (dica para prova): outra forma é notar a fatoração
que imediatamente dá
ou
. A segunda não fornece raízes reais, e a primeira dá
. Para equações do tipo
use sempre a mudança
; é rápido e confiável.