Maclaurin de
: obtenha a expansão até
.
Passo 1
O que o enunciado pede: obter a série de Maclaurin (i.e., a expansão em torno de
) da função
até o termo que contenha
.
Informações dadas e objetivo claro:
queremos os termos até
inclusive (ou seja, os coeficientes de
).
Passo 2
Escolhi usar o teorema do binômio geral (também chamado série binomial) porque é o caminho mais direto para expandir
quando
não é inteiro — e aqui
. Vou explicar essa ferramenta com calma.
O teorema do binômio geral diz que, para qualquer número real
,
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
para
, e
.
O que isso significa na prática:
-
é o expoente (aqui ); - para cada
calculamos o produto e dividimos por ; - a série converge para
(ou em condicionalmente dependendo de ); para nosso objetivo (termos até ) isso é suficiente.
Passo 3
Agora vou calcular termo a termo os coeficientes
para
, mostrando os detalhes de cada conta.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Multiplicando numeradores e denominadores:
Logo
.
Para
:
Conta dos sinais e valores:
Dividindo por
:
Logo
.
Para
:
Sinais: há quatro fatores negativos, então o resultado é positivo. O numerador em módulo é
Dividindo por
:
Simplificando por
:
Logo
.
Passo 4
Agora monto a expansão somando os termos
de
até
. Substituindo os coeficientes que calculamos:
onde
indica termos de ordem
ou maiores que ignoramos aqui (ou seja, erro do truncamento é proporcional a
para
pequeno).
Dica prática para prova: memorize os primeiros coeficientes ou saiba calcular rápido
usando a regra de produto
e dividindo por
. Para
os sinais alternam conforme mostrado e os numeradores são produtos de números ímpares.