Maclaurin de \sqrt{1+x} : obtenha a expansão até x^{5}.

Passo 1

O que o enunciado pede: obter a série de Maclaurin (i.e., a expansão em torno de x=0) da função \sqrt{1+x} até o termo que contenha x^{5}.
Informações dadas e objetivo claro:
\text{função: }\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2},çã
queremos os termos até x^{5} inclusive (ou seja, os coeficientes de x^{0},x^{1},\dots,x^{5}).

Passo 2

Escolhi usar o teorema do binômio geral (também chamado série binomial) porque é o caminho mais direto para expandir (1+x)^{\alpha} quando \alpha não é inteiro — e aqui \alpha=\tfrac{1}{2}. Vou explicar essa ferramenta com calma.
O teorema do binômio geral diz que, para qualquer número real \alpha,
(1+x)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty} {\alpha\choose k} x^{k},
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
{\alpha\choose k}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-(k-1))}{k!}
para k\ge 1, e {\alpha\choose 0}=1.
O que isso significa na prática:
  • \alpha é o expoente (aqui \alpha=\tfrac{1}{2});
  • para cada k calculamos o produto \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1) e dividimos por k!;
  • a série converge para |x|<1 (ou em x=1 condicionalmente dependendo de \alpha); para nosso objetivo (termos até x^{5}) isso é suficiente.

Passo 3

Agora vou calcular termo a termo os coeficientes {\tfrac{1}{2}\choose k} para k=0,1,2,3,4,5, mostrando os detalhes de cada conta.
Para k=0:
{\tfrac{1}{2}\choose 0}=1.
Para k=1:
{\tfrac{1}{2}\choose 1}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1!}=\tfrac{1}{2}.
Para k=2:
{\tfrac{1}{2}\choose 2}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)}{2!} =\frac{\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)}{2} =\frac{-\tfrac{1}{4}}{2}=-\tfrac{1}{8}.
Para k=3:
{\tfrac{1}{2}\choose 3}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)\left(\tfrac{1}{2}-2\right)}{3!} =\frac{\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)}{6}.
Multiplicando numeradores e denominadores:
\text{numerador }=\frac{1\cdot(-1)\cdot(-3)}{2^{3}}=\frac{3}{8},\qquad \text{dividindo por }6\Rightarrow \frac{3}{8}\cdot\frac{1}{6}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}.
Logo {\tfrac{1}{2}\choose 3}=\tfrac{1}{16}.
Para k=4:
{\tfrac{1}{2}\choose 4}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)\left(\tfrac{1}{2}-2\right)\left(\tfrac{1}{2}-3\right)}{4!} =\frac{\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)}{24}.
Conta dos sinais e valores:
\text{numerador }=\frac{1\cdot(-1)\cdot(-3)\cdot(-5)}{2^{4}}=\frac{-15}{16}.
Dividindo por 24:
\frac{-15}{16}\cdot\frac{1}{24}=\frac{-15}{384}=\frac{-5}{128}.
Logo {\tfrac{1}{2}\choose 4}=-\tfrac{5}{128}.
Para k=5:
{\tfrac{1}{2}\choose 5}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)\left(\tfrac{1}{2}-2\right)\left(\tfrac{1}{2}-3\right)\left(\tfrac{1}{2}-4\right)}{5!} =\frac{\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{7}{2}\right)}{120}.
Sinais: há quatro fatores negativos, então o resultado é positivo. O numerador em módulo é
\frac{1\cdot1\cdot3\cdot5\cdot7}{2^{5}}=\frac{105}{32}.
Dividindo por 120:
\frac{105}{32}\cdot\frac{1}{120}=\frac{105}{3840}.
Simplificando por 15:
\frac{105}{3840}=\frac{7}{256}.
Logo {\tfrac{1}{2}\choose 5}=\tfrac{7}{256}.

Passo 4

Agora monto a expansão somando os termos {\tfrac{1}{2}\choose k}x^{k} de k=0 até k=5. Substituindo os coeficientes que calculamos:
(1+x)^{1/2}=1+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{1}{16}x^{3}-\tfrac{5}{128}x^{4}+\tfrac{7}{256}x^{5}+\mathcal{O}(x^{6}),
onde \mathcal{O}(x^{6}) indica termos de ordem x^{6} ou maiores que ignoramos aqui (ou seja, erro do truncamento é proporcional a x^{6} para x pequeno).
Dica prática para prova: memorize os primeiros coeficientes ou saiba calcular rápido {\alpha\choose k} usando a regra de produto \alpha(\alpha-1)\cdots e dividindo por k!. Para \alpha=\tfrac{1}{2} os sinais alternam conforme mostrado e os numeradores são produtos de números ímpares.

Resposta

\sqrt{1+x}=1+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{1}{16}x^{3}-\tfrac{5}{128}x^{4}+\tfrac{7}{256}x^{5}

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