Fazendo o produto vetorial entre o vetor normal do plano dado e o vetor direção da reta dada teremos o vetor direção da reta desejada. Desta forma, temos o vetor direção
d & =|ccc i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & 2 | & =3 i-j-2 k
A reta desejada tem equação dada por r(t)=(0,1,2)+t(3,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a reta que passa pelo ponto P₀=(0,1,2), pertence a um plano de vetor normal n=(1,1,1) e é perpendicular a uma reta dada de vetor direção v=(1,−1,2). Vamos usar produto vetorial para achar a direção da reta buscada.

Passo 2

Como a reta desejada deve estar contida no plano, seu vetor direção d precisa ser ortogonal ao vetor normal n do plano. Além disso, como ela é perpendicular à reta dada, d também precisa ser ortogonal ao vetor direção v dessa reta. Logo, d será dado pelo produto vetorial n×v.

Passo 3

O produto vetorial de dois vetores n=(1,1,1) e v=(1,−1,2) se calcula pela matriz de cofactores:
d=i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & 2

Passo 4

Calculando o determinante pela regra de Sarrus ou expansão por cofactores, obtemos
$$\mathbf{d}=(1·2 - 1·(-1))\mathbf{i} - (1·2 - 1·1)\mathbf{j} + (1·(-1) - 1·1)\mathbf{k} = (2+1)\mathbf{i} - (2-1)\mathbf{j} + (-1-1)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} -1\mathbf{j} -2\mathbf{k}.
$$

Passo 5

Agora que temos o vetor direção d=(3,−1,−2) e o ponto P₀, escrevemos a equação paramétrica da reta: cada ponto r(t) na reta é dado por P₀ mais t vezes d.

Resposta

r(t)=(0,1,2)+t,(3,-1,-2)

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