Fazendo o produto vetorial entre o vetor normal do plano dado e o vetor direção da reta dada teremos o vetor direção da reta desejada. Desta forma, temos o vetor direção
A reta desejada tem equação dada por r(t)=(0,1,2)+t(3,-1,-2).
Passo 1
O enunciado pede para determinar a reta que passa pelo ponto P₀=(0,1,2), pertence a um plano de vetor normal n=(1,1,1) e é perpendicular a uma reta dada de vetor direção v=(1,−1,2). Vamos usar produto vetorial para achar a direção da reta buscada.
Passo 2
Como a reta desejada deve estar contida no plano, seu vetor direção d precisa ser ortogonal ao vetor normal n do plano. Além disso, como ela é perpendicular à reta dada, d também precisa ser ortogonal ao vetor direção v dessa reta. Logo, d será dado pelo produto vetorial n×v.
Passo 3
O produto vetorial de dois vetores n=(1,1,1) e v=(1,−1,2) se calcula pela matriz de cofactores:
d=i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & 2
Passo 4
Calculando o determinante pela regra de Sarrus ou expansão por cofactores, obtemos
Agora que temos o vetor direção d=(3,−1,−2) e o ponto P₀, escrevemos a equação paramétrica da reta: cada ponto r(t) na reta é dado por P₀ mais t vezes d.