(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{3}}-30 \sqrt{x}}{1+x^{1 / 6}} \frac{8 x^{7 / 5}+9 x-60 \sqrt[6]{x}-90}{6(\sqrt[6]{x}+1)^{2} \sqrt{x}}\

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{3}}-30 \sqrt{x}}{1+x^{1/6}}\cdot\frac{8 x^{7/5}+9 x-60 \sqrt[6]{x}-90}{6(\sqrt[6]{x}+1)^{2}\sqrt{x}}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Existem radicais: \sqrt{x^3},\\ \sqrt{x},\\ \sqrt[6]{x}.
  • A função é produto de duas frações; vamos simplificar antes de derivar.
  • Tomar cuidado com o domínio: como aparecem raízes pares, assume-se x>0.

Passo 2

Reescrevo os radicais como potências para trabalhar com regras de derivação facilmente:
\sqrt{x^{3}}=x^{3/2},\qquad \sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \sqrt[6]{x}=x^{1/6}.
Assim
f(x)=\frac{x^{3/2}-30x^{1/2}}{1+x^{1/6}}\cdot\frac{8x^{7/5}+9x-60x^{1/6}-90}{6(1+x^{1/6})^{2}x^{1/2}}.
Agora fatoro x^{1/2} no primeiro numerador:
x^{3/2}-30x^{1/2}=x^{1/2}(x-30).
Cancelo o fator x^{1/2} do numerador com o x^{1/2} do denominador (válido para x>0) e junto os fatores (1+x^{1/6}):
f(x)=\frac{(x-30)\bigl(8x^{7/5}+9x-60x^{1/6}-90\bigr)}{6(1+x^{1/6})^{3}}.
Para simplificar a notação, defino
p(x)=8x^{7/5}+9x-60x^{1/6}-90, \qquad g(x)=(x-30)p(x), \qquad q(x)=(1+x^{1/6})^{-3}.
Então
f(x)=\frac{1}{6}\,g(x)\,q(x).

Passo 3

Estratégia de derivação: usar a regra do produto combinado com a regra da cadeia.
  • Vou derivar f(x)=\dfrac{1}{6}g(x)q(x) usando a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
  • Para q(x)=(1+x^{1/6})^{-3} uso a regra da cadeia: derivada de u^n é n u^{n-1}u'.
  • Para potências de x uso a regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1}.
    Vou calcular p'(x), g'(x) e q'(x) passo a passo.

Passo 4

Derivo p(x)=8x^{7/5}+9x-60x^{1/6}-90 termo a termo usando a regra do poder:
  • \dfrac{d}{dx}8x^{7/5}=8\cdot\dfrac{7}{5}x^{7/5-1}=\dfrac{56}{5}x^{2/5}.
  • \dfrac{d}{dx}9x=9.
  • \dfrac{d}{dx}(-60x^{1/6})=-60\cdot\dfrac{1}{6}x^{1/6-1}=-10x^{-5/6}.
  • \dfrac{d}{dx}(-90)=0.
    Portanto
p'(x)=\frac{56}{5}x^{2/5}+9-10x^{-5/6}.

Passo 5

Derivo g(x)=(x-30)p(x) pela regra do produto:
g'(x)=(x-30)p'(x)+1\cdot p(x)=p(x)+(x-30)p'(x).
Aqui usei que \dfrac{d}{dx}(x-30)=1.

Passo 6

Derivo q(x)=(1+x^{1/6})^{-3} pela regra da cadeia:
  • Primeiro a derivada externa: \dfrac{d}{du}u^{-3}=-3u^{-4} com u=1+x^{1/6}.
  • Em seguida a derivada de u=1+x^{1/6} é u'=\dfrac{1}{6}x^{-5/6}.
    Portanto
q'(x)=-3(1+x^{1/6})^{-4}\cdot\frac{1}{6}x^{-5/6}=-\frac{1}{2}x^{-5/6}(1+x^{1/6})^{-4}.

Passo 7

Agora aplico a regra do produto em f(x)=\dfrac{1}{6}g(x)q(x):
f'(x)=\frac{1}{6}\bigl(g'(x)q(x)+g(x)q'(x)\bigr).
Substituo q(x)=(1+x^{1/6})^{-3}, q'(x)=-\tfrac{1}{2}x^{-5/6}(1+x^{1/6})^{-4} e g'(x)=p+(x-30)p':
f'(x)=\frac{1}{6}\Bigl((p+(x-30)p')(1+x^{1/6})^{-3}-(x-30)p\cdot\frac{1}{2}x^{-5/6}(1+x^{1/6})^{-4}\Bigr).
Fatoro (1+x^{1/6})^{-4} (o menor expoente) para simplificar:
f'(x)=\frac{1}{6}(1+x^{1/6})^{-4}\Bigl((p+(x-30)p')(1+x^{1/6})-\frac{1}{2}(x-30)p\,x^{-5/6}\Bigr).
Finalmente, substituo explicitamente p(x) e p'(x):
f'(x)=\frac{1}{6(1+x^{1/6})^{4}}\Biggl(\Bigl(8x^{7/5}+9x-60x^{1/6}-90+(x-30)\Bigl(\frac{56}{5}x^{2/5}+9-10x^{-5/6}\Bigr)\Bigr)(1+x^{1/6})
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -\frac{1}{2}(x-30)\bigl(8x^{7/5}+9x-60x^{1/6}-90\bigr)x^{-5/6}\Biggr).

Resposta

f'(x)=\frac{1}{6(1+x^{1/6})^{4}}\Biggl(\Bigl(8x^{7/5}+9x-60x^{1/6}-90+(x-30)\Bigl(\frac{56}{5}x^{2/5}+9-10x^{-5/6}\Bigr)\Bigr)(1+x^{1/6})-\frac{1}{2}(x-30)\bigl(8x^{7/5}+9x-60x^{1/6}-90\bigr)x^{-5/6}\Biggr)

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