(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- Existem radicais:
. - A função é produto de duas frações; vamos simplificar antes de derivar.
- Tomar cuidado com o domínio: como aparecem raízes pares, assume-se
.
Passo 2
Reescrevo os radicais como potências para trabalhar com regras de derivação facilmente:
Assim
Agora fatoro
no primeiro numerador:
Cancelo o fator
do numerador com o
do denominador (válido para
) e junto os fatores
:
Para simplificar a notação, defino
Então
Passo 3
Estratégia de derivação: usar a regra do produto combinado com a regra da cadeia.
- Vou derivar
usando a regra do produto: . - Para
uso a regra da cadeia: derivada de é . - Para potências de
uso a regra do poder: .
Vou calcular, e passo a passo.
Passo 4
Derivo
termo a termo usando a regra do poder:
-
. -
. -
. -
.
Portanto
Passo 5
Derivo
pela regra do produto:
Aqui usei que
.
Passo 6
Derivo
pela regra da cadeia:
- Primeiro a derivada externa:
com . - Em seguida a derivada de
é .
Portanto
Passo 7
Agora aplico a regra do produto em
:
Substituo
,
e
:
Fatoro
(o menor expoente) para simplificar:
Finalmente, substituo explicitamente
e
: