(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=x \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(x)+x \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função dada. As informações do enunciado são:
f(x)=x\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(x)+x\cos(x).
Observação útil (tirada da própria expressão): \operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(x)=\sin^2(x). Portanto podemos reescrever a função como
f(x)=x\sin^2(x)+x\cos(x).
O que se pede: calcular a derivada \,f'(x)\, desta função.

Passo 2

Estratégia matemática que vamos aplicar (apenas enunciada): a derivada de uma soma é a soma das derivadas (regra da soma). Cada termo aqui é um produto de duas funções (por exemplo x vezes \sin^2(x)), então usaremos a regra do produto para cada termo. Também precisaremos da regra da cadeia para derivar \sin^2(x) e das derivadas básicas de seno e cosseno. Vou lembrar essas regras antes de usar.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra da soma: se F(x)=G(x)+H(x) então \;F'(x)=G'(x)+H'(x).
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
( u v )' = u'v+uv'.
Aqui u' significa a derivada de u em relação a x.
  • Regra da cadeia (caso comum): se w(x)=(g(x))^2 então
w'(x)=2\,g(x)\cdot g'(x).
  • Derivadas básicas:
(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (x)'=1.

Passo 4

Aplicando a regra da soma à função reescrita:
f(x)=\underbrace{x\sin^2(x)}_{T_1(x)}+\underbrace{x\cos(x)}_{T_2(x)}.
Logo
f'(x)=T_1'(x)+T_2'(x).

Passo 5

Derivada do primeiro termo T_1(x)=x\sin^2(x). Use a regra do produto com u(x)=x e v(x)=\sin^2(x).
  • u'(x)=1.
  • Para v(x)=\sin^2(x) usamos a regra da cadeia com g(x)=\sin x: v'(x)=2\sin x\cdot(\sin x)'.
  • Como (\sin x)'=\cos x, temos v'(x)=2\sin x\cos x.
Agora aplicar produto:
T_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot\sin^2(x)+x\cdot(2\sin x\cos x).
Portanto
T_1'(x)=\sin^2(x)+2x\sin x\cos x.

Passo 6

Derivada do segundo termo T_2(x)=x\cos(x). Novamente regra do produto com u(x)=x e v(x)=\cos x.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=(\cos x)'=-\sin x.
Aplicando a regra do produto:
T_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x).
Logo
T_2'(x)=\cos x - x\sin x.

Passo 7

Somando T_1'(x) e T_2'(x):
f'(x)=\big(\sin^2(x)+2x\sin x\cos x\big)+\big(\cos x - x\sin x\big).
Agrupando termos:
f'(x)=\sin^2(x)+\cos x +2x\sin x\cos x - x\sin x.
Podemos também fatorar x\sin x nos dois últimos termos se quisermos uma forma alternativa:
f'(x)=\sin^2(x)+\cos x + x\sin x(2\cos x-1).

Resposta

\sin^2(x)+\cos x+2x\sin x\cos x - x\sin x

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