Questão 1 (2 pontos) Considere a função f(x, y)=4 x^{3}+6 x^{2} y.
(a) Calcule \iint_{R} f(x, y) d A onde R=[0,1] \times[0,2].
(b) Seja R_{\ell}=[0, \ell] \times[0,1]. Determine \ell>0 de tal modo que o volume do sólido abaixo do gráfico de f e acima da região R_{\ell} seja exatamente 1 .

Passo 1

O enunciado pede duas integrais duplas de f(x,y)=4x^3+6x^2y sobre retângulos: em (a) sobre R=[0,1]\times[0,2] e em (b) sobre R_{\ell}=[0,\ell]\times[0,1], ajustando \ell para que o volume seja 1. Para resolver, usamos o Teorema de Fubini e integramos primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Calculemos a parte (a):
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=0}^{2}(4x^3+6x^2y)\,dy\Bigr)dx.
No interior,
\int_{0}^{2}(4x^3+6x^2y)\,dy =4x^3\cdot2+6x^2\cdot\frac{2^2}{2} =8x^3+12x^2.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}(8x^3+12x^2)\,dx =8\cdot\frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{1}+12\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{1} =2+4=6.

Passo 4

Para a parte (b), montamos a integral sobre R_{\ell}:
\iint_{R_{\ell}}f(x,y)\,dA =\int_{0}^{\ell}\Bigl(\int_{0}^{1}(4x^3+6x^2y)\,dy\Bigr)dx =\int_{0}^{\ell}(4x^3+3x^2)\,dx.
Integramos:
\int_{0}^{\ell}(4x^3+3x^2)\,dx =\ell^4+\ell^3.
Queremos \ell^4+\ell^3=1.

Passo 5

Resolvendo \ell^4+\ell^3=1 para \ell>0 por tentativa: \ell=0{,}8 0{,}8^4+0{,}8^3\approx0{,}4096+0{,}512=0{,}9216<1, \ell=0{,}82 0{,}82^4+0{,}82^3\approx0{,}4521+0{,}5514=1{,}0035\approx1.
Logo \ell\approx0{,}82.

Resposta

(a) 6
(b) \ell\approx0{,}82 (única solução positiva de \ell^4+\ell^3=1)

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