Questão 1 (2 pontos) Considere a função f(x, y)=4 x^{3}+6 x^{2} y.
(a) Calcule \iint_{R} f(x, y) d A onde R=[0,1] \times[0,2].
(b) Seja R_{\ell}=[0, \ell] \times[0,1]. Determine \ell>0 de tal modo que o volume do sólido abaixo do gráfico de f e acima da região R_{\ell} seja exatamente 1 .
Passo 1
O enunciado pede duas integrais duplas de f(x,y)=4x^3+6x^2y sobre retângulos: em (a) sobre R=[0,1]\times[0,2] e em (b) sobre R_{\ell}=[0,\ell]\times[0,1], ajustando \ell para que o volume seja 1. Para resolver, usamos o Teorema de Fubini e integramos primeiro em y e depois em x.
Resolvendo \ell^4+\ell^3=1 para \ell>0 por tentativa: \ell=0{,}8 dá 0{,}8^4+0{,}8^3\approx0{,}4096+0{,}512=0{,}9216<1, \ell=0{,}82 dá 0{,}82^4+0{,}82^3\approx0{,}4521+0{,}5514=1{,}0035\approx1.
Logo \ell\approx0{,}82.
Resposta
(a) 6
(b) \ell\approx0{,}82 (única solução positiva de \ell^4+\ell^3=1)