Fazer um estudo das funções a seguir com relação à concavidade e ao(s) ponto(s) de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo da concavidade da função
e a localização dos pontos de inflexão.
Conteúdo: usamos o teste da segunda derivada, que diz que se então
é côncava para cima, se
é côncava para baixo, e pontos de inflexão ocorrem onde
com troca de sinal.
Conteúdo: usamos o teste da segunda derivada, que diz que se
Passo 2
Calcular a primeira e a segunda derivadas.
A primeira derivada é
A primeira derivada é
A segunda derivada é
Passo 3
Determinar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo
Isso dá as raízes
Passo 4
Analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelas raízes.
- Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Para
: e , logo .
Passo 5
Concluir sobre concavidade:
-
é côncava para cima em e em . -
é côncava para baixo em .
Passo 6
Verificar pontos de inflexão: em
e
há troca de sinal de
, logo são pontos de inflexão. Calcular
nesses pontos:
Resposta
Concavidade:
- Para cima em
. - Para baixo em
.
Pontos de inflexão: