Fazer um estudo das funções a seguir com relação à concavidade e ao(s) ponto(s) de inflexão.
f(x)=3 x^4-4 x^3+6

Passo 1

O enunciado pede o estudo da concavidade da função
f(x)=3x^4-4x^3+6
e a localização dos pontos de inflexão.
Conteúdo: usamos o teste da segunda derivada, que diz que se ,f''(x)>0 então f é côncava para cima, se ,f''(x)<0 é côncava para baixo, e pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 com troca de sinal.

Passo 2

Calcular a primeira e a segunda derivadas.
A primeira derivada é
f'(x)=ddxl(3x^4-4x^3+6r) =12x^3-12x^2 =12x^2(x-1)
A segunda derivada é
f''(x)=ddxl(12x^2(x-1)r) =24x(x-1)+12x^2cdot1 =24x^2-24x+12x^2 =36x^2-24x =12x(3x-2)

Passo 3

Determinar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo
f''(x)=12x(3x-2)=0
Isso dá as raízes
x=0 e x=23

Passo 4

Analisar o sinal de f''(x)=12x(3x-2) nos intervalos determinados pelas raízes.
  • Para x<0: 12x<0 e (3x-2)<0, logo f''(x)>0.
  • Para 0<x<tfrac23: 12x>0 e (3x-2)<0, logo f''(x)<0.
  • Para x>tfrac23: 12x>0 e (3x-2)>0, logo f''(x)>0.

Passo 5

Concluir sobre concavidade:
  • f é côncava para cima em (-infty,0) e em l(tfrac23,inftyr).
  • f é côncava para baixo em l(0,tfrac23r).

Passo 6

Verificar pontos de inflexão: em x=0 e x=tfrac23 há troca de sinal de f'', logo são pontos de inflexão. Calcular f nesses pontos:
f(0)=6, f!l(tfrac23r) =3l(tfrac23r)^4 -4l(tfrac23r)^3 +6 =3cdot1681-4cdot827+6 =4881-3227+6 =1627-3227+6 =-1627+6 =14627

Resposta

Concavidade:
  • Para cima em (-infty,0)cupl(tfrac23,inftyr).
  • Para baixo em l(0,tfrac23r).
Pontos de inflexão:
l(0,6r) e l(tfrac23,tfrac14627r)

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