Fazer um estudo das funções a seguir com relação à concavidade e ao(s) ponto(s) de inflexão.
f(x)=x+4raizx

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade e localizar pontos de inflexão da função
f(x)=x+4raizx,
cujo domínio é (0,infty). Para isso, vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem: a concavidade vem do sinal de f''(x) e um ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 e há troca de sinal.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) em potências de x, pois isso facilita o cálculo das derivadas usando a regra
ddxx^a=a,x^a-1.
f(x) = (x+4),x^-1/2 = x^1/2 + 4,x^-1/2

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada:
aplicando termo a termo,
ddxl(x^1/2r)=tfrac12,x^-1/2, ddxl(4,x^-1/2r)=4cdot(-tfrac12),x^-3/2=-2,x^-3/2
Logo,
f'(x)=tfrac12,x^-1/2-2,x^-3/2 =x-42,x^3/2

Passo 4

Para a segunda derivada, diferenciamos
tfrac12,x^-1/2-2,x^-3/2 diretamente:
ddxl(tfrac12,x^-1/2r) =-tfrac14,x^-3/2, ddxl(-2,x^-3/2r) =3,x^-5/2
Somando,
f''(x)=-tfrac14,x^-3/2+3,x^-5/2 =-x+124,x^5/2 =12 - x4,x^5/2

Passo 5

Para achar possíveis pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
12 - x = 0 Longrightarrow x=12
Como o denominador 4,x^5/2 é sempre positivo em (0,infty), o sinal de f''(x) vem do numerador:
  • Se 0<x<12, então 12-x>0 e f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se x>12, então 12-x<0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).
    Em x=12 há troca de sinal em f'', logo ponto de inflexão.
    O valor de f nesse ponto é
f(12)=12+4raiz12 =162raiz3 =8raiz3 =8raiz33

Passo 6

Concluímos:
  • A função é côncava para cima em (0,12).
  • A função é côncava para baixo em (12,infty).
  • Há um ponto de inflexão em
    l(12,tfrac8raiz33r).

Resposta

A função é côncava para cima em (0,12) e côncava para baixo em (12,infty).
O ponto de inflexão é l(12,tfrac8raiz33r).

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