Fazer um estudo das funções a seguir com relação à concavidade e ao(s) ponto(s) de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a concavidade e localizar pontos de inflexão da função
cujo domínio é
. Para isso, vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem: a concavidade vem do sinal de
e um ponto de inflexão ocorre onde
e há troca de sinal.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos
em potências de
, pois isso facilita o cálculo das derivadas usando a regra
.
Passo 3
Agora calculamos a primeira derivada:
aplicando termo a termo,
aplicando termo a termo,
Logo,
Passo 4
Para a segunda derivada, diferenciamos
diretamente:
Somando,
Passo 5
Para achar possíveis pontos de inflexão, resolvemos
:
Como o denominador
é sempre positivo em
, o sinal de
vem do numerador:
- Se
, então e (concavidade para cima). - Se
, então e (concavidade para baixo).
Emhá troca de sinal em , logo ponto de inflexão.
O valor denesse ponto é
Passo 6
Concluímos:
- A função é côncava para cima em
. - A função é côncava para baixo em
. - Há um ponto de inflexão em
.
Resposta
A função é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
O ponto de inflexão é .
O ponto de inflexão é