Utilize o critério da 2^a derivada (quando aplicável) para determinar os extremos relativos de cada função a seguir.
f(x)=x^3-2 x^2+x+1

Passo 1

Temos a função
f(x)=x^3-2x^2+x+1
e queremos encontrar os extremos relativos usando o critério da segunda derivada. Para isso precisamos:
  1. Calcular a primeira derivada f'(x) e a segunda derivada f''(x).
  2. Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
  3. Aplicar o teste da segunda derivada em cada ponto crítico para ver se dá máximo ou mínimo.
  4. Avaliar f nesses pontos para obter as ordenadas dos extremos.

Passo 2

Vamos derivar:
f'(x)=ddxl(x^3-2x^2+x+1r)=3x^2-4x+1
Em seguida a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(3x^2-4x+1r)=6x-4

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo
f'(x)=3x^2-4x+1=0
O discriminante é De<a =(-4)^2-4cdot3cdot1=16-12=4, logo as raízes são
x=4pm26;Longrightarrow;x=13e x=1

Passo 4

Aplicamos o critério da segunda derivada:
  • Em x=tfrac13: f''l(tfrac13r)=6cdottfrac13-4=2-4=-2<0, logo é máximo relativo.
  • Em x=1: f''(1)=6cdot1-4=2>0, logo é mínimo relativo.

Passo 5

Agora determinamos os valores de f nesses pontos:
fl(tfrac13r)=l(tfrac13r)^3-2l(tfrac13r)^2+tfrac13+1 =127-29+13+1 =1-6+9+2727 =3127,
f(1)=1-2+1+1=1

Resposta

O ponto de máximo relativo é
l(tfrac13,,tfrac3127r)
e o ponto de mínimo relativo é
(1,,1)

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