Utilize o critério da 2^a derivada (quando aplicável) para determinar os extremos relativos de cada função a seguir.
f(x)=raiz[5]x-1

Passo 1

O enunciado pede para a gente usar o critério da segunda derivada (quando for possível) para classificar extremos relativos da função
f(x)=raiz[5]x-1
O procedimento geral é: calcular f'(x), encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou indefinida), calcular f''(x) e aplicar o teste — se não der para usar a segunda derivada, a gente faz análise de monotonicidade.

Passo 2

Vamos achar a derivada primeira. Como raiz[5]x=x^1/5, vale
f'(x)=15,x^15-1=15,x^-45=15,x^4/5

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou de f'(x) indefinida. Aqui:
  • f'(x)=0 não acontece, pois o numerador é constante 1.
  • f'(x) é indefinida em x=0, porque dá divisão por zero.
    Logo, o único ponto crítico é x=0.

Passo 4

Vamos ver a segunda derivada para tentar usar o critério:
f''(x)=ddxl(15x^-45r) =15l(-tfrac45r)x^-95 =-425,x^-95
Em x=0 essa expressão também é indefinida, então não dá para avaliar f''(0) e usar o teste clássico aí.

Passo 5

Quando o critério da segunda derivada falha a gente recorre ao sinal de f'(x) em cada lado de 0. Note que
f'(x)=15,x^4/5
é positivo tanto para x>0 quanto para x<0 (pois x^4/5=(raiz[5]x)^4 é sempre não nulo e positivo). Assim, f é estritamente crescente em todo lugar, só que em x=0 não é derivável. Logo, não há nem vale nem pico aí — simplesmente um ponto de canto.

Resposta

A função f(x)=raiz[5]x-1 não possui extremos relativos.

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