Utilize o critério da
derivada (quando aplicável) para determinar os extremos relativos de cada função a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para a gente usar o critério da segunda derivada (quando for possível) para classificar extremos relativos da função
O procedimento geral é: calcular
, encontrar pontos críticos (onde
ou indefinida), calcular
e aplicar o teste — se não der para usar a segunda derivada, a gente faz análise de monotonicidade.
Passo 2
Vamos achar a derivada primeira. Como
, vale
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
ou de
indefinida. Aqui:
-
não acontece, pois o numerador é constante . -
é indefinida em , porque dá divisão por zero.
Logo, o único ponto crítico é.
Passo 4
Vamos ver a segunda derivada para tentar usar o critério:
Em
essa expressão também é indefinida, então não dá para avaliar
e usar o teste clássico aí.
Passo 5
Quando o critério da segunda derivada falha a gente recorre ao sinal de
em cada lado de
. Note que
é positivo tanto para
quanto para
(pois
é sempre não nulo e positivo). Assim,
é estritamente crescente em todo lugar, só que em
não é derivável. Logo, não há nem vale nem pico aí — simplesmente um ponto de canto.
Resposta
A função
não possui extremos relativos.