Sem fazer o gráfico, determine se as funções abaixo são crescente ou decrescente:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função é crescente ou decrescente. A função dada é
. Informações relevantes: coeficiente angular (declive) da reta é
e o domínio natural dessa função linear é todo
.
Passo 2
O que significa “crescente” e “decrescente” (definição que vamos usar).
- Dizemos que uma função
é crescente em um intervalo quando, sempre que nesse intervalo, vale . Se for sempre estritamente maior, dizemos estritamente crescente. - Dizemos que
é decrescente em um intervalo quando, sempre que nesse intervalo, vale . Se for sempre estritamente menor, dizemos estritamente decrescente.
Vou trabalhar com a forma prática: para uma função linearo sinal do coeficiente determina a monotonicidade: - Se
então é crescente. - Se
então é decrescente.
A seguir eu mostro por que isso é verdade de forma algébrica (sem calcular derivada).
Passo 3
Prova algébrica (diferença entre valores): pegue
e
com
. Calcule
Ao simplificar os
que se cancelam,
Passo 4
Interpretando o resultado: como escolhemos
, então
. Multiplicando por
(que é negativo) obtemos
Portanto
sempre que
. Isso é exatamente a condição de função estritamente decrescente.
Passo 5
Explicação alternativa rápida usando derivada (apenas como confirmação): a derivada de
é
Como
para todo
, a função é estritamente decrescente em todo o seu domínio. Esta abordagem é mais curta quando se conhece derivadas, mas a prova do passo anterior é totalmente elementar.
Passo 6
Exemplo numérico para ganhar intuição: escolha
e
. Então
e
. De fato
, mostrando a queda quando
aumenta.
Resposta
A função
é estritamente decrescente em todo
.