Sem fazer o gráfico, determine se as funções abaixo são crescente ou decrescente:
f(x)=-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função é crescente ou decrescente. A função dada é f(x)=-3x+2. Informações relevantes: coeficiente angular (declive) da reta é -3 e o domínio natural dessa função linear é todo \mathbb{R}.

Passo 2

O que significa “crescente” e “decrescente” (definição que vamos usar).
  • Dizemos que uma função f é crescente em um intervalo quando, sempre que x_1<x_2 nesse intervalo, vale f(x_1)\le f(x_2). Se for sempre estritamente maior, dizemos estritamente crescente.
  • Dizemos que f é decrescente em um intervalo quando, sempre que x_1<x_2 nesse intervalo, vale f(x_1)\ge f(x_2). Se for sempre estritamente menor, dizemos estritamente decrescente.
    Vou trabalhar com a forma prática: para uma função linear f(x)=mx+b o sinal do coeficiente m determina a monotonicidade:
  • Se m>0 então f é crescente.
  • Se m<0 então f é decrescente.
    A seguir eu mostro por que isso é verdade de forma algébrica (sem calcular derivada).

Passo 3

Prova algébrica (diferença entre valores): pegue x_1 e x_2 com x_1<x_2. Calcule
f(x_2)-f(x_1)=\bigl(-3x_2+2\bigr)-\bigl(-3x_1+2\bigr).
Ao simplificar os +2 que se cancelam,
f(x_2)-f(x_1)=-3x_2+3x_1=-3(x_2-x_1).

Passo 4

Interpretando o resultado: como escolhemos x_2>x_1, então (x_2-x_1)>0. Multiplicando por -3 (que é negativo) obtemos
f(x_2)-f(x_1)=-3(x_2-x_1)<0.
Portanto f(x_2)<f(x_1) sempre que x_2>x_1. Isso é exatamente a condição de função estritamente decrescente.

Passo 5

Explicação alternativa rápida usando derivada (apenas como confirmação): a derivada de f é
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x+2\bigr)=-3.
Como f'(x)=-3<0 para todo x, a função é estritamente decrescente em todo o seu domínio. Esta abordagem é mais curta quando se conhece derivadas, mas a prova do passo anterior é totalmente elementar.

Passo 6

Exemplo numérico para ganhar intuição: escolha x_1=0 e x_2=1. Então f(0)=2 e f(1)=-1. De fato f(1)<f(0), mostrando a queda quando x aumenta.

Resposta

A função f(x)=-3x+2 é estritamente decrescente em todo \mathbb{R}.

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