Resolva as seguintes equações ou inequações:
\frac{|x+2|}{|2 x-3|}<4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional com valores absolutos
\frac{|x+2|}{|2x-3|}<4.
O conteúdo aqui é manipular desigualdades envolvendo módulo e expressão racional. Vamos precisar usar a propriedade
\bigl|\tfrac{A}{B}\bigr|<C\;\Longleftrightarrow\;|A|<C\,|B|,
e depois resolver uma inequação quadrática.

Passo 2

Determinar o domínio da expressão original. Como temos |2x-3| no denominador, exige-se
2x-3\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq\frac32.

Passo 3

Aplicar a propriedade do módulo na desigualdade:
\frac{|x+2|}{|2x-3|}<4 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+2|<4\,|2x-3|.

Passo 4

Elevar ao quadrado ambos os lados (tudo é não negativo), para eliminar os módulos:
(x+2)^2<16\,(2x-3)^2.
Expandindo e reorganizando para forma padrão:
(x+2)^2<16(4x^2-12x+9) \;\Longrightarrow\; 0<16(4x^2-12x+9)-(x^2+4x+4).
Calculemos:
16\cdot4x^2 -16\cdot12x +16\cdot9 -x^2 -4x -4 =64x^2 -192x +144 -x^2 -4x -4 =63x^2 -196x +140.
Logo a inequação torna-se
63x^2 -196x +140>0.

Passo 5

Resolver a inequação quadrática 63x^2-196x+140>0. Primeiro, as raízes da equação
63x^2-196x+140=0
têm discriminante
\Delta =(-196)^2 -4\cdot63\cdot140 =38416-35280=3136,
\sqrt{\Delta}=56.
As raízes são
x=\frac{196\pm56}{2\cdot63} \;\Longrightarrow\; x=\frac{140}{126}=\frac{10}{9} \quad\text{e}\quad x=\frac{252}{126}=2.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e 63x^2-196x+140>0 ocorre quando
x<\frac{10}{9} \quad\text{ou}\quad x>2.

Passo 6

Interseccionar com o domínio x\neq\frac32. O ponto x=\tfrac32\approx1,5 já está fora do intervalo x<\tfrac{10}{9} e também fora de x>2. Portanto não precisamos excluí-lo explicitamente além do que já aconteceu.

Resposta

\boxed{x<\tfrac{10}{9}\quad\text{ou}\quad x>2.}

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