Como feito em sala, usando o método de varíaveis separaveis, encontre a solução dos problemas de valor inicial e de fronteira
(b) l uy y+ux x=0, 0 <= x <= a, 0 <= y <= b u(x, 0)=0, u(x, b)=f(x), 0 <= x <= a u(0, y)=0, u(a, y)=0, 0

Passo 1

O problema é a equação de Laplace em um retângulo, ou seja, achar u(x,y) satisfazendo
uxx+uyy=0,
para 0<= x<= a, 0<= y<= b, com condições de contorno de Dirichlet:
u(x,0)=0, u(x,b)=f(x), u(0,y)=u(a,y)=0. Vamos usar separação de variáveis e expandir f(x) em série de senos.

Passo 2

Assumimos a forma fatorada
u(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo na PDE e dividindo por X(x)Y(y)
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0
Cada fração depende só de uma variável, então ambas devem ser constantes opostas: escolhemos
X''(x)X(x)=-lambda,Y''(y)Y(y)=lambda

Passo 3

O problema em x fica
$$X’’(x)+\lambda X(x)=0,\quad X(0)=0,;X(a)=0.
X''(x)+lambda X(x)=0, X(0)=0,;X(a)=0 éçõã\lambda_n=\Bigl(\frac{n\pi}{a}\Bigr)^2,\quad n=1,2,\dots,$$
com
lambdan=l(npiar)^2, n=1,2,dots,

Passo 4

O problema em y é
Y''(y)-lambda Y(y)=0,
isto é,
$$Y’’(y)-\Bigl(\frac{n\pi}{a}\Bigr)^2Y(y)=0.
Y''(y)-l(npiar)^2Y(y)=0 çãéY_n(y)=A_n\sinh\Bigl(\frac{n\pi y}{a}\Bigr)+B_n\cosh\Bigl(\frac{n\pi y}{a}\Bigr).$$

Passo 5

Usando u(x,0)=0 temos
$$Y_n(0)=A_n\cdot0+B_n\cdot1=0\ \Rightarrow\ B_n=0.
Yn(0)=Ancdot0+Bncdot1=0 Rightarrow Bn=0 Y_n(y)=A_n\sinh\Bigl(\frac{n\pi y}{a}\Bigr).
$$

Passo 6

Impondo u(x,b)=f(x) obtemos
$$u(x,b)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sinh\Bigl(\frac{n\pi b}{a}\Bigr)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{a}\Bigr)=f(x).
u(x,b)=sumn=1^infty Ansinhl(npi bar)sinl(npi xar)=f(x) éf(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{a}\Bigr),\quad f_n=\frac{2}{a}\int_0^a f(s)\sin\Bigl(\frac{n\pi s}{a}\Bigr),ds.$$
Comparando coeficientes,
f(x)

Passo 7

Juntando tudo, a solução fica a série
u(x,y)=sumn=1^infty fnsinhl(tfracnpi yar)sinhl(tfracnpi bar)sinl(npi xar),
onde os coeficientes fn vêm da expansão de f(x).

Resposta

u(x,y)=sumn=1^infty[2aintegral0^a f(s)sinl(npi sar),ds]sinhl(npi yar)sinhl(npi bar)sinl(npi xar)

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