Um feixe de 10^{10} fótons cada um com 364 keV de energia, incide sobre uma placa de espessura de 8 mm . Qual a energia total transferida? Qual a energia total absorvida? Qual a energia total irradiada? Considere: \mu=0,04 \mathrm{~mm}^{-1}, \mu_{\mathrm{tr}}=0,02 \mathrm{~mm}^{-1} \mathrm{e} \mu_{\mathrm{ab}}=0,01 \mathrm{mm}^{-1}

Passo 1

O enunciado dá um feixe de N_{0}=10^{10} fótons, cada um com energia individual E_{0}=364,keV, que incide numa placa de espessura t=8,mm. Temos os coeficientes lineares
\mu = 0{,}04\\ \mathrm{mm}^{-1},\quad \mu_{\mathrm{tr}} = 0{,}02\\ \mathrm{mm}^{-1},\quad \mu_{\mathrm{ab}} = 0{,}01\\ \mathrm{mm}^{-1}.
Queremos calcular
– a energia total transferida ao meio;
– a energia total absorvida;
– a energia total irradiada (isto é, re-irradiada como radiação secundária).
Para isso vamos usar que a energia do feixe decai segundo
E(x)=E_{\mathrm{inc}}\,e^{-\mu x},
e que a energia removida do feixe em dx é repartida proporcionalmente a \mu_{\mathrm{tr}} e \mu_{\mathrm{ab}}.

Passo 2

Calcular a energia total inicial do feixe em joule. Cada fóton tem
E_{0}=364\\ \mathrm{keV} =364\times10^{3}\,\mathrm{eV} =364\times10^{3}\times1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J} \approx5{,}83\times10^{-14}\,\mathrm{J}.
Logo a energia inicial do feixe é
E_{\mathrm{inc}} = N_{0}\,E_{0} =10^{10}\times5{,}83\times10^{-14}\,\mathrm{J} \approx5{,}83\times10^{-4}\,\mathrm{J}.

Passo 3

A energia removida do feixe ao atravessar toda a espessura t é
E_{\mathrm{rem}} =E_{\mathrm{inc}} \bigl(1 - e^{-\mu\,t}\bigr) =5{,}83\times10^{-4}\,\bigl(1 - e^{-0{,}04\times8}\bigr)\,\mathrm{J}.
Como e^{-0{,}32}\approx0{,}7261,
E_{\mathrm{rem}} \approx5{,}83\times10^{-4}\times(1-0{,}7261) \approx1{,}60\times10^{-4}\,\mathrm{J}.

Passo 4

A fração dessa energia removida que é transferida a partículas carregadas (coeficiente \mu_{\mathrm{tr}}) é
E_{\mathrm{tr}} =E_{\mathrm{rem}}\;\frac{\mu_{\mathrm{tr}}}{\mu} =1{,}60\times10^{-4}\times\frac{0{,}02}{0{,}04} \approx7{,}99\times10^{-5}\,\mathrm{J}.

Passo 5

A fração da energia removida que é efetivamente absorvida (coeficiente \mu_{\mathrm{ab}}) é
E_{\mathrm{ab}} =E_{\mathrm{rem}}\;\frac{\mu_{\mathrm{ab}}}{\mu} =1{,}60\times10^{-4}\times\frac{0{,}01}{0{,}04} \approx3{,}99\times10^{-5}\,\mathrm{J}.

Passo 6

A energia irradiada (radiada de volta como radiação secundária) é a diferença entre o que foi removido do feixe e o que foi transferido a partículas carregadas, ou seja
E_{\mathrm{irr}} =E_{\mathrm{rem}} - E_{\mathrm{tr}} \approx1{,}60\times10^{-4} - 7{,}99\times10^{-5} \approx7{,}99\times10^{-5}\,\mathrm{J}.

Resposta

Energia total transferida: 7{,}99\times10^{-5},J
Energia total absorvida: 3{,}99\times10^{-5},J
Energia total irradiada: 7{,}99\times10^{-5},J

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