Sabendo que uma fonte radioativa emite elétrons monoenergéticos ( 0,7 \mathrm{MeV} ), calcule o seu alcance no ar. E se a energia do elétron fosse 1,5 \mathrm{MeV}, quanto valeria seu alcance no ar ( \rho_{a r}=0,001225 \frac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^{2}} )? Use a equação semi-empírica.

Passo 1

O enunciado pede o alcance de elétrons monoenergéticos no ar para duas energias distintas: \,0,7\text{ MeV} e \,1,5\text{ MeV}. O conteúdo envolvido é a determinação do range (alcance) de partículas carregadas em meio material, usando uma fórmula semi-empírica que dá o alcance em massa (g/c m^{2}) e depois convertendo para distância (cm) dividindo pela densidade do ar \rho_{ar}=0,001225\text{ g/cm}^3.

Passo 2

A equação semi-empírica para o alcance em massa de elétrons no ar (CSDA range) é dada por
\tilde{R} \;=\; 0,407 \;E^{1{,}38}\
onde \tilde{R} está em g/c m^{2} e E em MeV.
Para obter o alcance linear R em cm, usamos
R \;=\;\frac{\tilde{R}}{\rho_{ar}}\,.

Passo 3

Para E=0,7\text{ MeV}:
Calculemos primeiro
\tilde{R}_1 \;=\;0,407\;\bigl(0,7\bigr)^{1{,}38} \;=\;0,407\;\exp\bigl(1{,}38\ln0,7\bigr) \;\approx\;0,249\;\text{g/cm}^2.
Convertendo em cm:
R_1 \;=\;\frac{0,249}{0,001225} \;\approx\;203{,}8\;\text{cm} \;\approx\;2{,}04\;\text{m}.

Passo 4

Para E=1,5\text{ MeV}:
\tilde{R}_2 \;=\;0,407\;\bigl(1,5\bigr)^{1{,}38} \;=\;0,407\;\exp\bigl(1{,}38\ln1,5\bigr) \;\approx\;0,711\;\text{g/cm}^2.
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R_2 \;=\;\frac{0,711}{0,001225} \;\approx\;580{,}2\;\text{cm} \;\approx\;5{,}80\;\text{m}.

Resposta

Para elétrons de 0,7\text{ MeV}, o alcance no ar é cerca de 2{,}04 m.
Para elétrons de 1,5\text{ MeV}, o alcance no ar é cerca de 5{,}80 m.

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