Um feixe de elétrons de 1 eV incide sobre uma barreira retangular de 4 eV de altura e 1 nanometro de espessura.
(a) determine as probabilidades de transmissão e de reflexão para os elétrons no feixe.
(b) se os elétrons tivessem energia de 3.5 eV quais seriam os valores dessas probabilidades?
(a) determine as probabilidades de transmissão e de reflexão para os elétrons no feixe.
(b) se os elétrons tivessem energia de 3.5 eV quais seriam os valores dessas probabilidades?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com mecânica quântica, mais especificamente com o tunneling quântico de elétrons. O problema fala sobre elétrons com certas energias atingindo uma barreira potencial retangular. Precisamos calcular as probabilidades de os elétrons atravessarem essa barreira (transmissão) ou serem refletidos por ela. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas que descrevem o comportamento dos elétrons nessas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados do item (a):
- Energia dos elétrons,
- Altura da barreira,
- Espessura da barreira,
Como
, os elétrons não têm energia suficiente para “subir” a barreira, mas, graças ao efeito túnel, há uma chance deles passarem mesmo assim.
Passo 3
Para calcular a probabilidade de transmissão (
) quando
, usamos a fórmula:
Onde:
Aqui,
é a massa do elétron e
é a constante de Planck reduzida. Vamos calcular
primeiro.
Passo 4
Vamos substituir os valores na expressão de
:
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Isso significa que a probabilidade de transmissão é extremamente baixa.
Passo 6
A probabilidade de reflexão (
) é simplesmente:
Ou seja, praticamente todos os elétrons são refletidos.
Passo 7
Agora, vamos para o item (b), onde a energia dos elétrons é
.
Como
, ainda estamos no caso de
, mas a diferença
é menor, o que aumenta a probabilidade de transmissão.
Passo 8
Calculando
para
:
Passo 9
Calculando
para
:
Passo 10
E a probabilidade de reflexão
:
Resposta
(a) A probabilidade de transmissão é aproximadamente
e a de reflexão é praticamente 1.
(b) Com energia de 3,5 eV, a probabilidade de transmissão é aproximadamente
e a de reflexão é cerca de
.