Um feixe de elétrons de 1 eV incide sobre uma barreira retangular de 4 eV de altura e 1 nanometro de espessura.
(a) determine as probabilidades de transmissão e de reflexão para os elétrons no feixe.
(b) se os elétrons tivessem energia de 3.5 eV quais seriam os valores dessas probabilidades?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com mecânica quântica, mais especificamente com o tunneling quântico de elétrons. O problema fala sobre elétrons com certas energias atingindo uma barreira potencial retangular. Precisamos calcular as probabilidades de os elétrons atravessarem essa barreira (transmissão) ou serem refletidos por ela. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas que descrevem o comportamento dos elétrons nessas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados do item (a):
  • Energia dos elétrons, E = 1 , eV
  • Altura da barreira, V0 = 4 , eV
  • Espessura da barreira, L = 1 , nm
Como E < V0 , os elétrons não têm energia suficiente para “subir” a barreira, mas, graças ao efeito túnel, há uma chance deles passarem mesmo assim.

Passo 3

Para calcular a probabilidade de transmissão ( T ) quando E < V0 , usamos a fórmula:
T approx e^-2 gamma L
Onde:
gamma = raiz2m(V0 - E)hbar^2
Aqui, m é a massa do elétron e hbar é a constante de Planck reduzida. Vamos calcular gamma primeiro.

Passo 4

Vamos substituir os valores na expressão de gamma :
gamma = raiz2 times 9,11 times 10^-31 , kg times (4 - 1) times 1,6 times 10^-19 , J(1,05 times 10^-34 , J·s)^2
Fazendo as contas:
gamma approx 1,5 times 10^10 , m^-1

Passo 5

Agora, vamos calcular T :
T approx e^-2 times 1,5 times 10^10 , m^-1 times 1 times 10^-9 , m = e^-30 approx 9,36 times 10^-14
Isso significa que a probabilidade de transmissão é extremamente baixa.

Passo 6

A probabilidade de reflexão ( R ) é simplesmente:
R = 1 - T approx 1 - 9,36 times 10^-14 approx 1
Ou seja, praticamente todos os elétrons são refletidos.

Passo 7

Agora, vamos para o item (b), onde a energia dos elétrons é E = 3,5 , eV .
Como E = 3,5 , eV < V0 = 4 , eV , ainda estamos no caso de E < V0 , mas a diferença V0 - E é menor, o que aumenta a probabilidade de transmissão.

Passo 8

Calculando gamma para E = 3,5 , eV :
gamma = raiz2m(V0 - E)hbar^2 = raiz2 times 9,11 times 10^-31 , kg times (4 - 3,5) times 1,6 times 10^-19 , J(1,05 times 10^-34 , J·s)^2 approx 5,48 times 10^9 , m^-1

Passo 9

Calculando T para E = 3,5 , eV :
T approx e^-2 times 5,48 times 10^9 , m^-1 times 1 times 10^-9 , m = e^-10,96 approx 1,73 times 10^-5

Passo 10

E a probabilidade de reflexão R :
R = 1 - T approx 1 - 1,73 times 10^-5 approx 0,9999827

Resposta

(a) A probabilidade de transmissão é aproximadamente 9,36 times 10^-14 e a de reflexão é praticamente 1.
(b) Com energia de 3,5 eV, a probabilidade de transmissão é aproximadamente 1,73 times 10^-5 e a de reflexão é cerca de 0,9999827 .

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