Seja um oscilador harmônico de massa m e frequência própria \omega. Determine:
(a) A probabilidade de presença nas regiões classicamente proibidas para o estado fundamental.
(b) Os valores médios da posição e do momentum, \langle x\rangle_{n} e \langle p\rangle_{n}, para o estado fundamental e para o primeiro estado excitado.
Se o estado inicial é dado por
Determine:
(c) os valores médios da posição e do momentum linear, \langle x\rangle e \langle p\rangle.
(d) As probabilidades de ocorrência de cada autovalor de energia.
(e) o estado em um instante qualquer.
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador harmônico unidimensional de massa m e frequência \omega.
(a) Queremos a probabilidade de encontrar a partícula em \lvert x\rvert>x_t, onde x_t são os pontos de inversão clássicos no estado fundamental.
(b) Pedem-se \langle x\rangle_n e \langle p\rangle_n para n=0 e n=1.
Em seguida, para o estado inicial
(c) calculamos \langle x\rangle(t) e \langle p\rangle(t),
(d) as probabilidades de obter cada valor de energia,
(e) e a forma de \Psi(x,t) para todo t.
Passo 2
Para (a) determinamos o ponto de inversão clássico do estado fundamental de energia E_0=\tfrac12\hbar\omega:
Para (c) calculamos \langle x\rangle(t) e \langle p\rangle(t) no estado \Psi(x,t). Só há termo cruzado entre \psi_0 e \psi_1, pois \langle0|x|0\rangle=\langle1|x|1\rangle=0.
O elemento de matriz é