Seja um oscilador harmônico de massa m e frequência própria \omega. Determine:
(a) A probabilidade de presença nas regiões classicamente proibidas para o estado fundamental.
(b) Os valores médios da posição e do momentum, \langle x\rangle_{n} e \langle p\rangle_{n}, para o estado fundamental e para o primeiro estado excitado.
Se o estado inicial é dado por
\Psi(x, 0)=\frac{1}{2} \psi_{0}+\frac{\sqrt{3}}{2} \psi_{1}
Determine:
(c) os valores médios da posição e do momentum linear, \langle x\rangle e \langle p\rangle.
(d) As probabilidades de ocorrência de cada autovalor de energia.
(e) o estado em um instante qualquer.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico unidimensional de massa m e frequência \omega.
(a) Queremos a probabilidade de encontrar a partícula em \lvert x\rvert>x_t, onde x_t são os pontos de inversão clássicos no estado fundamental.
(b) Pedem-se \langle x\rangle_n e \langle p\rangle_n para n=0 e n=1.
Em seguida, para o estado inicial
\Psi(x,0)=\frac12\,\psi_0(x)+\frac{\sqrt3}{2}\,\psi_1(x),
(c) calculamos \langle x\rangle(t) e \langle p\rangle(t),
(d) as probabilidades de obter cada valor de energia,
(e) e a forma de \Psi(x,t) para todo t.

Passo 2

Para (a) determinamos o ponto de inversão clássico do estado fundamental de energia E_0=\tfrac12\hbar\omega:
x_t=\sqrt{\frac{2E_0}{m\omega^2}} =\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}.
No estado fundamental a função de onda é gaussiana
\psi_0(x)=\Bigl(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Bigr)^{\!1/4} e^{-\,\frac{m\omega x^2}{2\hbar}},
e a probabilidade em \lvert x\rvert>x_t é
P_{\rm proibido} =2\int_{x_t}^{\infty}|\psi_0(x)|^2\,dx =\frac{2}{\sqrt\pi}\int_{1}^{\infty}e^{-\,\xi^2}d\xi =\operatorname{erfc}(1).

Passo 3

Para (b) usamos que \psi_n(x) tem paridade (-1)^n. Como x é função ímpar,
\langle x\rangle_n =\int\psi_n^*(x)\,x\,\psi_n(x)\,dx=0,
e pelo teorema de Ehrenfest (ou simetria)
\langle p\rangle_n=0,
para n=0,1.

Passo 4

Para (c) calculamos \langle x\rangle(t) e \langle p\rangle(t) no estado
\Psi(x,t). Só há termo cruzado entre \psi_0 e \psi_1, pois \langle0|x|0\rangle=\langle1|x|1\rangle=0.
O elemento de matriz é
\langle0|x|1\rangle =\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},
e os coeficientes são c_0=\tfrac12, c_1=\tfrac{\sqrt3}{2}. Considerando a evolução e^{-iE_n t/\hbar}, obtém-se
\langle x\rangle(t) =2\,\Re\bigl(c_0^*c_1 e^{-i\omega t}\bigr)\, \langle0|x|1\rangle =\frac{\sqrt3}{2}\,\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\cos(\omega t) =\sqrt{\frac{3\hbar}{8m\omega}}\,\cos(\omega t),
e usando \langle p\rangle = m\,d\langle x\rangle/dt:
\langle p\rangle(t) =-\sqrt{\frac{3\hbar m\omega}{8}}\,\sin(\omega t).

Passo 5

Para (d) as probabilidades de medir E_0 ou E_1 são os módulos quadrados dos coeficientes na expansão inicial:
P(E_0)=\bigl|c_0\bigr|^2=\frac14, \qquad P(E_1)=\bigl|c_1\bigr|^2=\frac34.

Passo 6

Para (e) aplicamos a evolução de cada autovetor de energia:
\Psi(x,t) =\frac12\,e^{-\,iE_0t/\hbar}\,\psi_0(x) +\frac{\sqrt3}{2}\,e^{-\,iE_1t/\hbar}\,\psi_1(x),
com E_0=\tfrac12\hbar\omega e E_1=\tfrac32\hbar\omega.

Resposta

(a) \operatorname{erfc}(1)\approx0{,}157.
(b) \langle x\rangle_n=0 e \langle p\rangle_n=0 para n=0,1.
(c) \langle x\rangle(t)=\sqrt{\tfrac{3\hbar}{8m\omega}}\cos(\omega t), \langle p\rangle(t)=-\sqrt{\tfrac{3\hbar m\omega}{8}}\sin(\omega t).
(d) P(E_0)=\tfrac14, P(E_1)=\tfrac34.
(e)
\Psi(x,t) =\frac12\,e^{-i\omega t/2}\,\psi_0(x) +\frac{\sqrt3}{2}\,e^{-i3\omega t/2}\,\psi_1(x).

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