Um feixe de laser (\lambda=632,8 \mathrm{~nm}) incide sobre duas fendas separadas por 0,200 \mathrm{~mm}. Qual é a distância entre as franjas brilhantes de interferència em uma tela situada a 5,00 \mathrm{~m} das fendas duplas? [R. 1,58 \mathrm{~cm} ]

Passo 1

O enunciado pede a distância entre franjas brilhantes de interferência produzidas por um arranjo de duas fendas. Dados fornecidos:
\lambda = 632,8\\ \mathrm{nm} (comprimento de onda do laser),
d = 0,200\\ \mathrm{mm} (separação entre as fendas),
L = 5,00\\ \mathrm{m} (distância da fenda até a tela).
A pergunta é: qual é a distância entre franjas brilhantes adjacentes na tela?

Passo 2

Vamos escrever a condição para máximos de interferência (franjas brilhantes). A condição geométrica para o m-ésimo máximo é
d\,\sin\theta_m = m\,\lambda,
onde d é a separação entre fendas, \theta_m é o ângulo medido a partir da direção normal ao conjunto de fendas até a direção do m-ésimo máximo, m é um número inteiro (ordem do máximo) e \lambda é o comprimento de onda. Aqui cada símbolo significa:
  • d: distância entre fendas (m),
  • \theta_m: ângulo do máximo m (rad ou graus),
  • m: índice do máximo (0, \pm1, \pm2, …),
  • \lambda: comprimento de onda (m).

Passo 3

Para franjas próximas ao eixo (ângulos pequenos) usamos a aproximação de pequeno ângulo:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta \approx \frac{y}{L},
onde y é a posição da franja sobre a tela medida a partir do centro e L é a distância até a tela. Essa aproximação é válida quando \theta é pequeno (por exemplo, \theta em torno de alguns graus ou menos). Substituindo na condição dos máximos obtemos para o m-ésimo máximo:
d\,\frac{y_m}{L} \approx m\,\lambda.
Daí a posição do máximo é
y_m \approx \frac{m\,\lambda\,L}{d}.

Passo 4

A distância entre duas franjas brilhantes adjacentes (diferença entre m+1 e m) é
\Delta y = y_{m+1}-y_m \approx \frac{(m+1)\lambda L}{d}-\frac{m\lambda L}{d}=\frac{\lambda L}{d}.
Portanto a separação entre franjas brilhantes vizinhas é
\Delta y = \frac{\lambda\,L}{d}.

Passo 5

Agora convertemos todas as grandezas para unidades do SI (metros) antes de calcular:
\lambda = 632,8\\ \mathrm{nm} = 6,328\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
d = 0,200\\ \mathrm{mm} = 2,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
L = 5,00\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Substituímos na fórmula \Delta y=\dfrac{\lambda L}{d}:
\Delta y = \frac{6,328\times10^{-7}\times 5,00}{2,00\times10^{-4}}\\ \mathrm{m}.
Vamos calcular passo a passo:
6,328\times10^{-7}\times 5,00 = 3,164\times10^{-6},
\Delta y = \frac{3,164\times10^{-6}}{2,00\times10^{-4}} = 1,582\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Convertendo para centímetros e arredondando de forma adequada:
1,582\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 1,582\\ \mathrm{cm} \approx 1,58\\ \mathrm{cm}.
Confira a validade da aproximação de pequeno ângulo: \theta\approx \lambda/d \approx 3,164\times10^{-3}\\ \mathrm{rad}\approx0,18^\circ, bem pequena, então a aproximação é consistente.

Resposta

1,58\\ \mathrm{cm}

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