Sobre o experimento da fenda dupla de Young.
(a) Explique o experimento da fenda dupla de Young.
(b) Mostre que a posição dos máximos de interferência é dada por:
(c) Mostre que a posição dos mínimos de interferència é dada por:
(d) Caso não tenha feito ao longo das respostas dos itens anteriores identifique cada parâmetro da equação.
(a) Explique o experimento da fenda dupla de Young.
(b) Mostre que a posição dos máximos de interferência é dada por:
(d) Caso não tenha feito ao longo das respostas dos itens anteriores identifique cada parâmetro da equação.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas claras:
- (a) Explicar o experimento da fenda dupla de Young — ou seja, descrever o que é o experimento e o que se observa.
- (b) Mostrar que a posição dos máximos de interferência obedece à fórmula
- (c) Mostrar que a posição dos mínimos de interferência obedece à fórmula
- (d) Identificar o significado de cada parâmetro presente nas equações (o que é
, , , , ).
Informações relevantes que o enunciado supõe (implícitas no experimento): duas fendas próximas atuam como duas fontes coerentes de ondas (mesma frequência/fase relacionada), a tela onde observamos o padrão está a uma distância
muito maior que a separação
das fendas (
), e estamos interessados na posição vertical
de franjas (máximos e mínimos) em relação ao centro da tela.
Passo 2
Explicação qualitativa e física do experimento (item (a)), passo a passo:
- Imagine uma lâmpada monocromática ou um feixe de luz coerente que ilumina duas fendas muito próximas entre si. As fendas são parecidas com duas fontes de ondas que emitem luz com mesma frequência e fase relativa fixa (ou, na prática, suficientemente coerentes).
- Cada fenda gera ondas que se propagam até uma tela distante. Em cada ponto
dessa tela chegam duas ondas (uma de cada fenda). - Interferência é o fenômeno onde duas ondas que chegam ao mesmo ponto se somam: dependendo da diferença de fase entre elas, a soma pode reforçar (interferência construtiva) ou anular (interferência destrutiva) a intensidade observada.
- O padrão observado na tela é uma série de franjas brilhantes (máximos) e escuras (mínimos) alternadas. O centro (ponto simétrico entre as fendas) normalmente é o máximo de ordem
. - A chave para prever onde estão as franjas é calcular a diferença de caminho percorrido pelas ondas de cada fenda até um ponto
da tela; essa diferença determina a diferença de fase.
Passo 3
Definição das grandezas e montagem geométrica para começar a deduzir as fórmulas:
- Seja a separação entre as duas fendas
. (Distância entre os centros das fendas.) - Colocamos a tela a uma distância
das fendas, medida perpendicularmente ao plano das fendas. Pressupomos . - Escolhemos a origem
no ponto central da tela (diretamente em frente ao ponto médio entre as fendas). O eixo mede o deslocamento vertical na tela. - Seja
um ponto da tela localizado a uma distância vertical do centro. O ângulo que a direção (da reta normal às fendas até ) faz com a normal é . - A luz tem comprimento de onda
. - Queremos relacionar a diferença de caminho entre as duas ondas até
com , para achar as condições de máximo e mínimo.
Passo 4
Cálculo da diferença de caminho entre as ondas que vêm das duas fendas:
- A diferença de caminho entre as ondas vindas de duas fendas separadas por
quando observamos num ponto a ângulo é, por construção geométrica padrão,
Explicação por que isso vale: imagine duas retas paralelas representando os raios que vão para
. Projetando o segmento que liga as duas fendas na direção perpendicular ao raio rumo a
, obtemos o triângulo cujo cateto projetado tem comprimento
. Esse é o percurso extra que uma das ondas precisa viajar em comparação com a outra. (Esta é uma construção geométrica clássica do arranjo de Young.)
- A diferença de fase
entre as duas ondas é proporcional à diferença de caminho:
Aqui
é o número de radianos de fase por unidade de comprimento: cada comprimento
corresponde a uma mudança de fase de
.
Passo 5
Condição para máximos (interferência construtiva) e dedução da posição angular:
- Interferência construtiva (máximo) ocorre quando as duas ondas chegam em fase, ou seja, quando a diferença de caminho
é um múltiplo inteiro do comprimento de onda :
- Substituindo
obtemos a condição angular dos máximos:
Esta é a forma geral sem aproximações: dá os ângulos
onde surgem máximos de ordem
.
Passo 6
Aproximação de pequenas angulações e obtenção da posição
na tela (conclusão do item (b)):
- Em muitos experimentos práticos a tela está suficientemente longe de modo que
é pequeno. Para pequeno usamos a aproximação de pequeno ângulo:
- Geometricamente,
. Assim, com a aproximação:
- Substituindo em
dá
- Isolando
obtemos a fórmula pedida para os máximos:
Observação didática: o máximo de ordem
corresponde ao centro (
), normalmente chamado máximo central.
Passo 7
Condição para mínimos (interferência destrutiva) e dedução da posição
(conclusão do item (c)):
- Interferência destrutiva (mínimo) ocorre quando as duas ondas chegam em oposição de fase, ou seja, quando a diferença de caminho é um meio-ônibus ímpar de
:
- Substituindo
tem-se a condição angular dos mínimos:
- Usando novamente a aproximação de pequeno ângulo
, obtemos
- Isolando
resulta a fórmula pedida para os mínimos:
(Obs.: aqui escrevemos os índices começando em
no enunciado; usar
é equivalente desde que interpretarmos corretamente a ordem da franja.)
Passo 8
Comentário sobre as aproximações feitas e quando elas são válidas (didática extra):
- A fórmula exata para ângulos maiores é
(máximos) e (mínimos). As fórmulas com usam , válida quando é pequeno e , de modo que as diferenças entre , e são desprezíveis. - Se
não for muito maior que e os ângulos forem grandes, deve-se resolver numericamente e relacionar sem aproximação.
Passo 9
Identificação explícita de cada parâmetro (item (d)):
-
: separação (distância) entre os centros das duas fendas. -
: distância perpendicular entre o plano das fendas e a tela onde se observa o padrão. -
: comprimento de onda da luz (ou da onda usada no experimento). -
: coordenada vertical do ponto observado na tela medida a partir do máximo central ( no centro). -
: ordem da franja (inteiro): para máximos ; para mínimos a expressão usa com inteiro.
Resposta
(a) O experimento da fenda dupla de Young consiste em iluminar duas fendas próximas que atuam como duas fontes coerentes; as ondas vindas das fendas chegam à tela e se somam, produzindo franjas alternadas brilhantes (interferência construtiva) e escuras (interferência destrutiva).\n
(b) \n
(c) \n
(d) = separação das fendas;
= distância fendas–tela;
= comprimento de onda;
= posição vertical na tela medida desde o máximo central;
= ordem da franja (inteiro).
(b)
(c)
(d)