Uma luz de comprimento de onda de 800 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração e são observados dois máximos consecutivos de difração em ângulos dados por \operatorname{sen} \theta=0,25 e \operatorname{sen} \theta=0,5.
(a) Qual é a distância entre as ranhuras da fenda? (Resp: 3200nm)

Passo 1

O enunciado dá que uma luz de comprimento de onda \lambda=800\\ \text{nm} incide perpendicularmente numa rede de difração e que se observam dois máximos consecutivos em ângulos cujos senos valem \sin\theta_1=0,25 e \sin\theta_2=0,5. A pergunta é: qual é a distância entre as ranhuras da rede (isto é, o espaçamento d entre fendas)?
Informações relevantes dadas:
  • \lambda = 800\\ \text{nm}.
  • Dois máximos consecutivos têm \sin\theta = 0,25 e \sin\theta = 0,5.
  • Incidência perpendicular (ou seja, o ângulo de incidência é zero).

Passo 2

Apresentando a fórmula que relaciona os máximos de uma rede de difração (fórmula fundamental): para uma rede com espaçamento entre ranhuras d, o máximo de ordem m aparece quando
d\,\sin\theta_m = m\,\lambda.
Explicando cada termo:
  • d é a distância entre ranhuras (o que queremos achar).
  • \theta_m é o ângulo em que aparece o máximo de ordem m.
  • m\in\{0,1,2,\dots\} é um inteiro que indica a ordem do máximo (0 é o máximo central).
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.
    A hipótese de incidência perpendicular simplifica porque não há termo de deslocamento na fórmula (usamos diretamente a expressão acima).

Passo 3

Como os dois máximos são consecutivos, podemos representar um por ordem m e o outro por ordem m+1. Então escrevemos as duas equações:
d\,\sin\theta_m = m\,\lambda,
d\,\sin\theta_{m+1} = (m+1)\,\lambda.
Aqui \sin\theta_m e \sin\theta_{m+1} são os valores fornecidos 0,25 e 0,5, em alguma ordem. Não é necessário saber qual é m inicialmente.

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar m e obter d:
d\big(\sin\theta_{m+1}-\sin\theta_m\big) = (m+1)\lambda - m\lambda = \lambda.
Logo,
d = \frac{\lambda}{\sin\theta_{m+1}-\sin\theta_m}.
Isto faz sentido físico: a diferença em \sin\theta entre máximos consecutivos corresponde a uma mudança de uma unidade em m, então o espaçamento d é o comprimento de onda dividido por essa diferença.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos que o enunciado deu. Tomando \sin\theta_{m+1}=0,5 e \sin\theta_m=0,25 (a diferença é 0,25):
d = \frac{800\\ \text{nm}}{0,5-0,25} = \frac{800\\ \text{nm}}{0,25}.
Calculemos:
\frac{800}{0,25}=800\cdot\frac{1}{0,25}=800\cdot4=3200.
Portanto d=3200\\ \text{nm}.

Passo 6

Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): usando d=3200\\ \text{nm}, o máximo correspondente a \sin\theta=0,25 tem ordem
m=\frac{d\,\sin\theta}{\lambda}=\frac{3200\cdot 0,25}{800}= \frac{800}{800}=1,
ou seja, é o primeiro máximo, e o outro é o segundo máximo. Faz sentido e confirma a consistência do resultado.

Resposta

3200\\ \text{nm}

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