Um feixe de luz branca incide perpendicularmente, de cima para baixo, em um filme fino horizontal colocado entre placas espessas de dois materiais. Os índices de refração são 1,80 para o material de cima, 1,70 para o filme fino e 1,50 para o material de baixo. A espessura do filme é 5,50 \times 10^{-7} \mathrm{~m}. Dos comprimentos de onda da luz visível ( 400 a 700 nm ) que resultam em interferência construtiva total para um observador situado acima do filme, qual é
a. o maior comprimento de onda?
b. o menor comprimento de onda?
Os materiais e o filme são aquecidos, o que faz a espessura do filme aumentar.
c. A interferência construtiva total passa a ocorrer para um comprimento de onda maior ou menor?

Passo 1

O enunciado descreve um filme fino de índice de refração n_{2}=1{,}70 e espessura t=5{,}50\times10^{-7}\,\mathrm{m}, imerso entre um meio acima com n_{1}=1{,}80 e um meio abaixo com n_{3}=1{,}50. A luz incide perpendicularmente de cima, reflete-se na face superior e na face inferior do filme e retorna ao ar. Como em ambas as reflexões o raio vai de um meio mais refringente para um meio menos refringente ( n_{1}>n_{2} e n_{2}>n_{3}), não há mudança de fase de \pi em nenhuma das reflexões. Logo, a condição de interferência construtiva no feixe refletido é que a diferença de percurso óptico valha um número inteiro de comprimentos de onda em vácuo:
2\,n_{2}\,t \;=\; m\,\lambda\,,\quad m\in\mathbb{Z}^{+}.

Passo 2

Calculamos o dobro do caminho óptico dentro do filme:
2\,n_{2}\,t \;=\; 2\cdot1{,}70\cdot\bigl(5{,}50\times10^{-7}\bigr)\,\mathrm{m} =\;1{,}87\times10^{-6}\,\mathrm{m} =\;1870\,\mathrm{nm}.
Assim a condição vira
1870\,\mathrm{nm} \;=\; m\,\lambda\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1870}{m}\,\mathrm{nm}.

Passo 3

Procuramos os valores inteiros de m tais que \lambda esteja no intervalo visível de 400 a 700\,\mathrm{nm}:
  • Para m=2: \lambda=935\,\mathrm{nm} (fora, é infravermelho).
  • Para m=3: \lambda= \tfrac{1870}{3}\approx623{,}3\,\mathrm{nm} (dentro).
  • Para m=4: \lambda= \tfrac{1870}{4}=467{,}5\,\mathrm{nm} (dentro).
  • Para m\ge5: \lambda\le374\,\mathrm{nm} (fora, ultravioleta).
Portanto só m=3 e m=4 geram comprimentos de onda visíveis.

Passo 4

Identificamos:
  • Maior comprimento de onda visível ocorre em m=3:
\lambda_{\max}=\frac{1870}{3}\,\mathrm{nm}\approx623{,}3\,\mathrm{nm}.
  • Menor comprimento de onda visível ocorre em m=4:
\lambda_{\min}=\frac{1870}{4}\,\mathrm{nm}=467{,}5\,\mathrm{nm}.

Passo 5

Se a espessura do filme t aumenta (por aquecimento), o valor de 2\,n_{2}\,t cresce. Para manter a condição 2\,n_{2}\,t=m\,\lambda com o mesmo m, o \lambda que sofre interferência construtiva também deve aumentar.

Resposta

a. \lambda_{\max}\approx623{,}3\,\mathrm{nm}.
b. \lambda_{\min}=467{,}5\,\mathrm{nm}.
c. A interferência construtiva total passa a ocorrer para comprimentos de onda maiores.

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