Um feixe de luz monocromática com comprimento de onda lambda=600 nm incide perpendicularmente sobre uma fenda de largura a=0,2 mm. A luz difratada é observada em uma tela a uma distância L=2 m da fenda.
Determine o valor de beta para o primeiro mínimo de intensidade.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o problema manda e o que precisamos saber:
• Enunciado resumido: um feixe de luz com comprimento de onda λ = 600 nm passa numa fenda de largura a = 0,2 mm e forma um padrão de difração numa tela a L = 2 m. A gente quer achar o valor de β correspondente ao primeiro mínimo de intensidade desse padrão.
• Matéria envolvida: difração de fenda simples (Fraunhofer).
• O que vamos usar:
  1. A fórmula da intensidade no padrão de difração: I(θ) = I0l(sin ββr)^2
    2. A definição do parâmetro β:
    β = π,a,sinθλ
  2. A condição para mínimos de intensidade: sin ββ=0Longrightarrow β = mπ;(mneq 0)
A partir do próximo passo a gente começa a mexer de fato com esses caras.

Passo 2

Primeiro, entenda o que é β: é uma variável “reduzida” que aparece quando derivamos a fórmula de difração de Fraunhofer para uma fenda única. A intensidade em função do ângulo θ (medido a partir do eixo central) é
I(θ) = I0l(sin ββr)^2,onde β = π,a,sinθλ,
Os mínimos de intensidade (os escuros do padrão) acontecem sempre que o numerador sinβ zera, desde que βneq 0.

Passo 3

A condição de mínimo é
sinβ = 0com βneq 0;Longrightarrow;β = mπ, m = pm1, pm2,dots
O primeiro mínimo (mais próximo do centro) corresponde a m = pm1. Como a gente costuma pegar o valor positivo pra β, fica:
β1 = 1cdot π = π,

Resposta

β para o primeiro mínimo de intensidade é π.

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