Um feixe de luz polarizada linearmente (polarização vertical) com amplitude de campo elétrico E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}} incide sobre um polarizador cujo eixo de transmissão está orientado a 30^{\circ} em relação à vertical. Qual é a amplitude do campo elétrico transmitido, E, em termos de E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
  • Dado: um feixe de luz polarizada linearmente com polarização vertical e amplitude do campo elétrico inicial igual a E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}}.
  • Dado: um polarizador cujo eixo de transmissão está orientado a 30^\circ em relação à vertical.
  • Pedido: encontrar a amplitude do campo elétrico transmitido, E, em termos de E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}}.

Passo 2

Entender o que o polarizador faz, de forma simples e visual.
Um polarizador só deixa passar a componente do campo elétrico que está alinhada com o seu eixo de transmissão. Se o campo incidente é totalmente vertical e o eixo do polarizador está inclinado de um ângulo \theta em relação à vertical, a componente que passa é a projeção do vetor campo sobre o eixo do polarizador. Projetar um vetor em outra direção é algo que se faz com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Representação vetorial e a projeção (explicação passo a passo).
Se tomarmos um versor vertical \hat{\mathbf{v}} e o versor do eixo do polarizador \hat{\mathbf{t}} formando um ângulo \theta entre si, o campo incidente pode ser escrito como
\mathbf{E}_\text{inc} = E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}}\,\hat{\mathbf{v}}.
A componente do campo ao longo do eixo do polarizador é dada pelo produto escalar (projeção):
E = \left|\mathbf{E}_\text{inc}\right|\,\bigl(\hat{\mathbf{v}}\cdot\hat{\mathbf{t}}\bigr).
Como \hat{\mathbf{v}}\cdot\hat{\mathbf{t}}=\cos\theta, obtemos a relação direta entre amplitude transmitida e amplitude incidente:
E = E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}} \cos\theta.

Passo 4

Aplicar o ângulo específico do problema.
No enunciado, \theta = 30^\circ. Substituindo na fórmula do passo anterior:
E = E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}} \cos 30^\circ.

Passo 5

Avaliar o cosseno de 30^\circ e dar a forma numérica exata e aproximada.
Sabe-se que
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
E = E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}} \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\,E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}}.

Resposta

E = E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\,E_{\mathrm{m} \# \mathrm{x}}

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