Um feixe de prótons com energia cinética de 40 MeV incide em um degrau de potencial de 30 MeV . Determine os coeficientes de reflexão e transmissão.

Passo 1

O enunciado descreve um feixe de prótons de energia cinética E=40\:\text{MeV} que incide sobre um potencial degrau de altura V_0=30\:\text{MeV}. Como E>V_0, teremos espalhamento acima da barreira. O conteúdo teórico é o tratamento quântico de espalhamento num potencial passo, onde as soluções são ondas planas com números de onda diferentes em cada região. Vamos precisar das expressões dos números de onda e das fórmulas dos coeficientes de reflexão R e transmissão T.

Passo 2

Em x<0 (região onde V=0) o número de onda é
k_1 = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\,,
e em x>0 (região onde V=V_0) o número de onda é
k_2 = \sqrt{\frac{2m\,(E - V_0)}{\hbar^2}}\,.
Esses k_1 e k_2 medem a “rapidez” da onda nas duas regiões.

Passo 3

A partir das condições de contorno na interface x=0 (continuidade da função de onda e de sua derivada), o coeficiente de reflexão para E>V_0 é
R = \left(\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\right)^{2}.

Passo 4

De forma análoga, o coeficiente de transmissão é
T = \frac{4\,k_1\,k_2}{(k_1 + k_2)^{2}}.
Verifica-se também que R+T=1, garantindo conservação de probabilidade.

Passo 5

Aqui basta notar que, em unidades proporcionais, k_1\propto\sqrt{E}=\sqrt{40} e k_2\propto\sqrt{E-V_0}=\sqrt{10}. Logo
k_1 = \sqrt{40},\quad k_2 = \sqrt{10},
em qualquer sistema de unidades consistente. Substituindo em R:
R = \left(\frac{\sqrt{40}-\sqrt{10}}{\sqrt{40}+\sqrt{10}}\right)^{2} = \left(\frac{6{,}3249 - 3{,}1623}{6{,}3249 + 3{,}1623}\right)^{2} \approx (0{,}3333)^{2} =0{,}1111.
E em T:
T = 1 - R \approx 1 - 0{,}1111 = 0{,}8889.

Resposta

R \approx 0{,}11 T \approx 0{,}89

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