Um aparato, usado em uma sala de cirurgia para resfriar sangue, consiste em um tubo com serpentina que está imerso em um banho de gelo. Usando esse aparato, sangue, escoando a 0,006 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, deve ser resfriado de 40^{\circ} \mathrm{C} para 30^{\circ} \mathrm{C}. O diâmetro interno do tubo é 2,5 \mathrm{~mm} e o coeficiente de transferência de calor entre o banho de gelo e a superfície externa do tubo é 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. A resistência térmica da parede do tubo pode ser desprezada.
Determine o comprimento requerido do tubo para executar o resfriamento desejado. As propriedades do sangue são:
\begin{gathered} \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2} \\\ k=0,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{~K} \\\ C_{p}=4,0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{~K} \\\ v=7 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} \end{gathered}

Passo 1

Resumindo, precisamos determinar o comprimento L de um tubo de diâmetro interno d=2{,}5\;\mathrm{mm} para resfriar sangue de 40^\circ\mathrm{C} a 30^\circ\mathrm{C}. O sangue escoa a 0{,}006\;\mathrm{m}^3/\mathrm{h} e está imerso num banho a 0^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo externo h_o=500\;\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}. Desprezamos a resistência da parede. Dados do sangue: \rho=1000\;\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, k=0{,}5\;\mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}, C_p=4{,}0\;\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}, \nu=7\times10^{-7}\;\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Conteúdo: convecção interna em escoamento laminar, cálculo de coeficiente global U, método do \mathrm{LMTD} e área de troca.

Passo 2

Calculamos a vazão mássica, o número de Reynolds e o coeficiente convectivo interno h_i.
Vazão volumétrica em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
Q = \frac{0{,}006}{3600} = 1{,}667\times10^{-6}.
Área da seção interna:
A_c = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi(0{,}0025)^2}{4} = 4{,}91\times10^{-6}.
Velocidade média:
u = \frac{Q}{A_c} \approx 0{,}339\;\mathrm{m/s}.
Reynolds interno:
\mathrm{Re} = \frac{u\,d}{\nu} = \frac{0{,}339\cdot0{,}0025}{7\times10^{-7}}\approx1212,
escoamento laminar. Para parede a temperatura constante,
\mathrm{Nu} = 3{,}66,
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h_i = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{d} = \frac{3{,}66\cdot0{,}5}{0{,}0025} \approx 732\;\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.

Passo 3

Coeficiente global de transferência de calor U:
\frac{1}{U} = \frac{1}{h_i} + \frac{1}{h_o} = \frac{1}{732} + \frac{1}{500} =3{,}365\times10^{-3},
U \approx 297\;\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.

Passo 4

Potência térmica removida do sangue:
\dot m = \rho\,Q = 1000\cdot1{,}667\times10^{-6} = 1{,}667\times10^{-3}\;\mathrm{kg/s},
\dot Q = \dot m\,C_p\,(T_{\rm in}-T_{\rm out}) =1{,}667\times10^{-3}\cdot4000\cdot(40-30) \approx66{,}7\;\mathrm{W}.
Log-mean temperature difference \mathrm{LMTD} com temperatura externa fixa a 0^\circ\mathrm{C}:
\Delta T_1 = 40-0 = 40,\quad \Delta T_2 = 30-0 =30,
\mathrm{LMTD} = \frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} = \frac{10}{\ln(40/30)} \approx34{,}75\;\mathrm{K}.

Passo 5

Área de troca necessária e comprimento do tubo:
A = \frac{\dot Q}{U\,\mathrm{LMTD}} = \frac{66{,}7}{297\cdot34{,}75} \approx6{,}46\times10^{-3}\;\mathrm{m}^2,
L = \frac{A}{\pi d} = \frac{6{,}46\times10^{-3}}{\pi\cdot0{,}0025} \approx0{,}82\;\mathrm{m}.

Resposta

O comprimento requerido do tubo é aproximadamente 0{,}82\;\mathrm{m}.

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