20.30 Estamos interessados em prever o tempo que levará para o grão de milho de pipoca estourar em um leito fluidizado. A velocidade do ar superficial no interior do leito é 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, que está acima da velocidade mínima de fluidização para os grãos de pipoca. A temperatura do ar é mantida constante a 520 \mathrm{~K}\left(247^{\circ} \mathrm{C}\right), por serpentinas de aquecimento colocadas ao redor do leito fluidizado. O diâmetro médio dos grãos de pipoca é 0,5 \mathrm{~cm}. Quando a temperatura de um grão atingir 175^{\circ} \mathrm{C}, ele estourará. A 25^{\circ} \mathrm{C}, a condutividade térmica da pipoca é 0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, o calor específico é 2000 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} e a densidade é 1300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
a. Qual é o coeficiente convectivo de transferência de calor para o escoamento de ar ao redor de cada grão de pipoca?
b. Qual é o número de Biot para um grão de pipoca? O modelo de parâmetros agrupados é válido?
c. Se admitirmos que o grão de pipoca estoura quando sua temperatura no centro atingir 175^{\circ} \mathrm{C}, quanto tempo depois de ele entrar no leito ele vai estourar? Inicialmente, os grãos de pipoca estão a 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado nos dá um grão de pipoca modelado por esfera de diâmetro d=0,5\text{ cm} imerso em ar em leito fluidizado a T_\infty=520\text{ K} (ou 247^\circ\text{C}) e velocidade superficial V=3\text{ m/s}. O grão estoura quando sua temperatura no centro atinge 175^\circ\text{C}. As propriedades da pipoca a 25^\circ\text{C} são: condutividade térmica k_s=0,2\text{ W/m\cdotK}, calor específico c_p=2000\text{ J/kg\cdotK} e densidade \rho=1300\text{ kg/m}^3.
Conteúdo:
  • a) correlação de convecção forçada para esfera (Ranz–Marshall);
  • b) número de Biot e validade do modelo de parâmetro agrupado;
  • c) condução transiente em esfera (primeiro termo) para achar o tempo de aquecimento até o centro atingir 175^\circ\text{C}.

Passo 2

Calculamos o coeficiente convectivo h pela correlação de Ranz–Marshall para esfera:
\mathrm{Nu} \;=\;2 + 0.6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Para isso, adotamos propriedades do ar a T_f\approx(298+520)/2=409\text{ K}: \rho_\infty\approx0,68\text{ kg/m}^3, \mu\approx3{,}3\times10^{-5}\text{ Pa\cdots}, k_\infty\approx0,041\text{ W/m\cdotK}, \mathrm{Pr}\approx0,7.
\mathrm{Re}=\frac{\rho_\infty\,V\,d}{\mu} =\frac{0,68\cdot3\cdot0,005}{3{,}3\times10^{-5}}\approx310,
\mathrm{Nu}=2 + 0.6\,(310)^{1/2}\,(0.7)^{1/3} \approx2 + 0.6\cdot17{,}6\cdot0.887\approx11{,}4,
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k_\infty}{d} =\frac{11{,}4\cdot0,041}{0,005}\approx93\;\text{W/m}^2\text{\cdotK}.

Passo 3

Calculamos o número de Biot, lembrando que para esfera L_c=V/A=d/6:
L_c=\frac{d}{6}=\frac{0,005}{6}=8{,}33\times10^{-4}\text{ m},
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k_s} =\frac{93\cdot8{,}33\times10^{-4}}{0.2}\approx0{,}39.
Como \mathrm{Bi}>0{,}1, a resistência interna de condução não é desprezível e o modelo de parâmetro agrupado não é válido.

Passo 4

Para determinar o tempo até o centro atingir T_c=175^\circ\text{C}, aplicamos a solução de condução transiente em esfera com resistência de convecção na superfície, tomando apenas o primeiro termo da série de Fourier. Definimos
\Theta^*=\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}, \quad T_i=25^\circ\text{C},\quad T_\infty=247^\circ\text{C}.
O primeiro autovalor \zeta_1 satisfaz \zeta_1\tan\zeta_1=\mathrm{Bi}, encontrando numericamente \zeta_1\approx0{,}595. O coeficiente associado é
C_1 =\frac{6\bigl(\sin\zeta_1-\zeta_1\cos\zeta_1\bigr)} {\zeta_1-\sin\zeta_1\cos\zeta_1} \approx3{,}22.
No centro da esfera temos
\Theta^*(t)\approx C_1\,e^{-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}}, \quad \mathrm{Fo}=\frac{\alpha\,t}{R^2}, \quad R=\frac{d}{2}=0{,}0025\text{ m}, \quad \alpha=\frac{k_s}{\rho\,c_p} =\frac{0{,}2}{1300\cdot2000} \approx7{,}7\times10^{-8}\text{ m}^2\!/s.
Queremos \Theta^*=(175-247)/(25-247)=0{,}324. Logo,
0{,}324 =3{,}22\;e^{-0{,}595^2\,\mathrm{Fo}} \;\Longrightarrow\; e^{-0{,}354\,\mathrm{Fo}}=0{,}1006 \;\Longrightarrow\; \mathrm{Fo}=\frac{-\ln0{,}1006}{0{,}354}}\approx6{,}49.
Portanto,
t =\mathrm{Fo}\,\frac{R^2}{\alpha} =6{,}49\;\frac{(2{,}5\times10^{-3})^2}{7{,}7\times10^{-8}} \approx5{,}3\times10^2\text{ s} \approx8{,}8\text{ min}.

Resposta

a. h\approx93\;\text{W/m}^2\text{\cdotK}.
b. \mathrm{Bi}\approx0{,}39. Como \mathrm{Bi}>0{,}1, não é válido usar o modelo de parâmetro agrupado.
c. Tempo para o centro atingir 175^\circ\text{C}: t\approx530\text{ s} (cerca de 8{,}8 minutos).

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