20.53 Ar, na pressão atmosférica e a 10^{\circ} \mathrm{C}, entra em um duto retangular que tem 6 m de comprimento e uma seção transversal medindo 7,5 por 15 cm . As superfícies são mantidas a 70^{\circ} \mathrm{C} por radiação solar. Se a temperatura de saída do ar for 30^{\circ} \mathrm{C}, qual será a taxa de escoamento requerida do ar?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e ver o que precisamos. Ar sob pressão atmosférica e entrada a 10^\circ\mathrm C flui por um duto retangular de comprimento L=6\\ \mathrm m e seção 7,5\\ \mathrm{cm}\times15\\ \mathrm{cm}. As paredes estão a 70^\circ\mathrm C e o ar sai a 30^\circ\mathrm C. Queremos a vazão de massa \dot m do ar que faz com que o aquecimento convectivo forneça a energia necessária para elevar o ar de 10 a 30^\circ\mathrm C.
Conteúdo: balanço de energia em escoamento forçado interno + correlação de Nusselt (Dittus–Boelter) para obter o coeficiente convectivo h.

Passo 2

Calcular as dimensões hidráulicas do duto e a área de troca:
a=0,075\\ \mathrm m,\quad b=0,15\\ \mathrm m,
A_c = a\,b = 0,075\cdot0,15 = 0,01125\\ \mathrm{m^2},
P = 2(a+b) = 2(0,075+0,15) = 0,45\\ \mathrm m,
D_h = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2\cdot0,075\cdot0,15}{0,075+0,15}=0,10\\ \mathrm m.

Passo 3

Escrevemos o balanço de energia diferencial ao longo de x no duto (escoamento unidimensional, propriedades médias constantes):
\dot m\,c_p\,\frac{dT}{dx} = h\,P\bigl(T_w-T(x)\bigr).
Integramos de x=0 T=T_{\rm in} até x=L T=T_{\rm out}, obtendo
\frac{T_w - T_\text{out}}{T_w - T_\text{in}} = \exp\!\Bigl(-\,\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p}\Bigr).
Dessa forma isolamos \dot m:
\dot m = \frac{h\,P\,L}{c_p\,\ln\!\bigl(\tfrac{T_w - T_\text{in}}{T_w - T_\text{out}}\bigr)}.

Passo 4

Para calcular h usamos a correlação de Dittus–Boelter (escoamento turbulento, \mathrm{Pr}^{0,4} para aquecimento):
\mathrm{Nu} = 0,023\,\mathrm{Re}^{0,8}\,\mathrm{Pr}^{0,4}, \quad h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_h}.
Com \mathrm{Re} = \dfrac{\rho\,u\,D_h}{\mu}, u=\dot m/(\rho A_c),
e propriedades no filme entre \tfrac{T_w+T_\text{média}}2\approx (343+293)/2=318\\ \mathrm Ké: \rho\approx1,247\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu\approx1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\,s}, k\approx0,029\\ \mathrm{W/m\,K}, \mathrm{Pr}\approx0,7, c_p\approx1007\\ \mathrm{J/kg\,K}.

Passo 5

Substituindo \dot m dentro de \mathrm{Re} e desta em \mathrm{Nu}, percebemos que \dot m aparece dos dois lados da equação. Após rearranjar, chega-se a uma forma do tipo
\dot m^{0,2} = C,
onde
C = \frac{0,023\,(k/D_h)\,(D_h/(\mu A_c))^{0,8}\,\mathrm{Pr}^{0,4}\,P\,L} {c_p\,\ln\!\bigl(\tfrac{T_w - T_\text{in}}{T_w - T_\text{out}}\bigr)}.
Logo
\dot m = C^{5}.

Passo 6

Calculando numericamente C: \ln\bigl((343-283)/(343-303)\bigr)=\ln(1{,}5)\approx0,4055. \,(k/D_h)=0,029/0,1=0,29, (D_h/(\mu A_c))^{0,8} = \bigl(0,1/(1{,}6\times10^{-5}\cdot0,01125)\bigr)^{0,8} \approx3{,}93\times10^{4}, \mathrm{Pr}^{0,4}\approx0,7^{0,4}=0,867.
Então
0,023\cdot0,29\cdot3{,}93\times10^4\cdot0,867 \approx227{,}4,
P\,L=0,45\cdot6=2,7, \quad c_p\ln(\dots)=1007\cdot0,4055\approx408{,}4.
Logo
C = \frac{227{,}4\cdot2,7}{408{,}4}\approx1{,}503, \quad \dot m = 1{,}503^5 \approx 7{,}7\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

A vazão mássica de ar requerida é, aproximadamente,
\dot m \approx 7{,}7\\ \mathrm{kg/s}.

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