20.49 Ar, a 25 psia, deve ser aquecido de 60^{\circ} \mathrm{F} para 100^{\circ} \mathrm{F}, em um tubo liso, de 3 / 4 in de diâmetro, cuja superfície é mantida a uma temperatura constante de 120^{\circ} \mathrm{F}. Qual é o comprimento requerido do tubo para uma velocidade do ar de 25 \mathrm{ft} / \mathrm{s} ? E de 15 \mathrm{ft} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de um tubo liso de diâmetro interno de 3/4 in que aquece ar de 60^\circ\mathrm F a 100^\circ\mathrm F, mantendo a parede a 120^\circ\mathrm F. A pressão é 25 psia e as velocidades do ar consideradas são 25 ft/s e 15 ft/s. O conteúdo principal é transferência de calor por convecção interna com parede à temperatura constante; para resolver precisamos de
  • propriedades do ar no “filme” (temperatura média),
  • correlação empírica para o coeficiente de transferência de calor h (Dittus–Boelter),
  • balanço energético para fluxo em regime permanente e parede a T_w= constante.

Passo 2

Estimamos as propriedades do ar no filme térmico
T_{\rm bulk,\,média}=\frac{60+100}{2}=80^\circ\mathrm F,\quad T_{\rm filme}=\frac{80+120}{2}=100^\circ\mathrm F.é
Das tabelas, em 100^\circ\mathrm F tomamos
c_p=0{,}24\;\mathrm{Btu/(lbm\,^\circ F)},\quad k=0{,}028\;\mathrm{Btu/(h\,ft\,^\circ F)},\quad \Pr=0{,}707,\quad \nu=1{,}9\times10^{-4}\;\mathrm{ft^2/s}.
A densidade do ar, usando gás ideal em unidades consis-tentes
P_{\rm abs}=25\times144=3600\;\mathrm{lb/ft^2},\quad R_{\rm ar}=53{,}35\;\mathrm{ft\;lb/(lbm\,^\circ R)},\quad T_{\rm filme}=100+459{,}67=559{,}67^\circ\mathrm R,
é
\rho=\frac{P_{\rm abs}}{R_{\rm ar}\,T_{\rm filme}} =\frac{3600}{53{,}35\times559{,}67}\approx0{,}125\;\mathrm{lbm/ft^3}.

Passo 3

A área da seção interna do tubo é
D=0{,}75\;\mathrm{in}=0{,}0625\;\mathrm{ft},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}=\pi\frac{0{,}0625^2}{4}\approx0{,}003068\;\mathrm{ft^2}.
O fluxo mássico é \dot m=\rho A V. Convertendo para \mathrm{lbm/h}:
Para V=25\;\mathrm{ft/s}:
\dot m_{25}=\rho A V=0{,}125\times0{,}003068\times25\approx0{,}00959\;\mathrm{lbm/s} \;\rightarrow\;0{,}00959\times3600\approx34{,}5\;\mathrm{lbm/h}.
Para V=15\;\mathrm{ft/s}:
\dot m_{15}=0{,}125\times0{,}003068\times15\approx0{,}00575\;\mathrm{lbm/s} \;\rightarrow\;0{,}00575\times3600\approx20{,}7\;\mathrm{lbm/h}.

Passo 4

Calculamos o número de Reynolds e, em seguida, o coeficiente h pela correlação de Dittus–Boelter
\Nu=0{,}023\,\Re^{0,8}\Pr^{0,4},\qquad h=\frac{\Nu\,k}{D}.
Para V=25\;\mathrm{ft/s}:
\Re_{25}=\frac{V\,D}{\nu}=\frac{25\times0{,}0625}{1{,}9\times10^{-4}}\approx8200,
\Nu_{25}=0{,}023\times8200^{0,8}\times0{,}707^{0,4}\approx27{,}2, \quad h_{25}=\frac{27{,}2\times0{,}028}{0{,}0625}\approx12{,}2\;\mathrm{Btu/(h\,ft^2\,^\circ F)}.
Para V=15\;\mathrm{ft/s}:
\Re_{15}=\frac{15\times0{,}0625}{1{,}9\times10^{-4}}\approx4900,
\Nu_{15}=0{,}023\times4900^{0,8}\times0{,}707^{0,4}\approx18{,}1, \quad h_{15}=\frac{18{,}1\times0{,}028}{0{,}0625}\approx8{,}1\;\mathrm{Btu/(h\,ft^2\,^\circ F)}.

Passo 5

Para parede a T_w constante, a equação de balanço em regime permanente leva à expressão
\ln\!\biggl(\frac{T_{w}-T_i}{T_{w}-T_o}\biggr) =\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p},
onde P=\pi D é o perímetro interno. Logo
L =\frac{\dot m\,c_p}{h\,P} \;\ln\!\Bigl(\tfrac{T_w-T_i}{T_w-T_o}\Bigr).
Aqui \ln\bigl((120-60)/(120-100)\bigr)=\ln(3)\approx1{,}0986 e P=\pi\times0{,}0625\approx0{,}19635\;\mathrm{ft}.

Passo 6

Substituindo em cada caso:
Para V=25\;\mathrm{ft/s}:
\dot m\,c_p=34{,}5\times0{,}24=8{,}28\;\mathrm{Btu/h\,^\circ F},\quad h\,P=12{,}2\times0{,}19635=2{,}39\;\mathrm{Btu/(h\,ft\,^\circ F)},
L_{25}=\frac{8{,}28}{2{,}39}\times1{,}0986\approx3{,}8\;\mathrm{ft}.
Para V=15\;\mathrm{ft/s}:
\dot m\,c_p=20{,}7\times0{,}24=4{,}97\;\mathrm{Btu/h\,^\circ F},\quad h\,P=8{,}1\times0{,}19635=1{,}59\;\mathrm{Btu/(h\,ft\,^\circ F)},
L_{15}=\frac{4{,}97}{1{,}59}\times1{,}0986\approx3{,}4\;\mathrm{ft}.

Resposta

Comprimento requerido:
Para 25\;\mathrm{ft/s}: aproximadamente 3{,}8 ft.
Para 15\;\mathrm{ft/s}: aproximadamente 3{,}4 ft.

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