Uma fenda única é iluminada com luz cujos comprimentos de onda
e
, escolhidos de modo que o primeiro mínimo de difração da componente
coincida com o segundo mínimo da componente
. Ocorre a coincidência para outros mínimos?
Passo 1
Então, a gente tem uma fenda única iluminada por duas luzes com comprimentos de onda diferentes,
e
. A questão diz que o primeiro mínimo de difração da luz com comprimento de onda
coincide com o segundo mínimo da luz com comprimento de onda
. A pergunta é: será que essa coincidência acontece também para outros mínimos? Para resolver isso, vamos usar os conceitos de difração por fenda única e a fórmula que relaciona os mínimos de difração com os comprimentos de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular os mínimos de difração em uma fenda única. A condição para os mínimos é dada por:
onde:
-
é a largura da fenda, -
é o ângulo onde ocorre o mínimo, -
é um número inteiro (1, 2, 3, …), -
é o comprimento de onda da luz.
Essa fórmula nos diz que, para cada valor de
, temos uma posição específica para os mínimos de difração.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para as duas luzes,
e
. Sabemos que o primeiro mínimo (
) de
coincide com o segundo mínimo (
) de
. Então, podemos escrever duas equações:
Para
:
Para
:
Como os dois mínimos coincidem, os dois lados das equações são iguais. Então:
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos verificar se essa relação faz com que outros mínimos também coincidam. Vamos supor que há um mínimo
para
que coincide com um mínimo
para
. Então, temos:
Para
:
Para
:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Passo 5
A última equação,
, nos diz que para os mínimos coincidirem, o número
deve ser o dobro de
. Ou seja, se
for um número inteiro,
precisa ser o dobro desse inteiro para que os mínimos coincidam. Por exemplo:
- Se
, então (o que já sabemos que acontece pela condição inicial). - Se
, então . - Se
, então , e assim por diante.
Resposta
Sim, a coincidência dos mínimos ocorre para os mínimos onde o número
é o dobro de
, ou seja, para todos os pares de mínimos tais que
.