Uma fenda única é iluminada com luz cujos comprimentos de onda lambdaa e lambdab, escolhidos de modo que o primeiro mínimo de difração da componente lambdaa coincida com o segundo mínimo da componente lambdab. Ocorre a coincidência para outros mínimos?

Passo 1

Então, a gente tem uma fenda única iluminada por duas luzes com comprimentos de onda diferentes, lambdaa e lambdab. A questão diz que o primeiro mínimo de difração da luz com comprimento de onda lambdaa coincide com o segundo mínimo da luz com comprimento de onda lambdab. A pergunta é: será que essa coincidência acontece também para outros mínimos? Para resolver isso, vamos usar os conceitos de difração por fenda única e a fórmula que relaciona os mínimos de difração com os comprimentos de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular os mínimos de difração em uma fenda única. A condição para os mínimos é dada por:
a sin theta = m lambda
onde:
  • a é a largura da fenda,
  • theta é o ângulo onde ocorre o mínimo,
  • m é um número inteiro (1, 2, 3, …),
  • lambda é o comprimento de onda da luz.
Essa fórmula nos diz que, para cada valor de m, temos uma posição específica para os mínimos de difração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para as duas luzes, lambdaa e lambdab. Sabemos que o primeiro mínimo ( m=1) de lambdaa coincide com o segundo mínimo ( m=2) de lambdab. Então, podemos escrever duas equações:
Para lambdaa:
a sin theta = 1 cdot lambdaa
Para lambdab:
a sin theta = 2 cdot lambdab
Como os dois mínimos coincidem, os dois lados das equações são iguais. Então:
lambdaa = 2 lambdab

Passo 4

Agora que sabemos que lambdaa = 2 lambdab, vamos verificar se essa relação faz com que outros mínimos também coincidam. Vamos supor que há um mínimo m para lambdaa que coincide com um mínimo n para lambdab. Então, temos:
Para lambdaa:
a sin theta = m lambdaa = m cdot 2 lambdab
Para lambdab:
a sin theta = n lambdab
Igualando as duas expressões:
m cdot 2 lambdab = n lambdab
Simplificando:
2m = n

Passo 5

A última equação, 2m = n, nos diz que para os mínimos coincidirem, o número n deve ser o dobro de m. Ou seja, se m for um número inteiro, n precisa ser o dobro desse inteiro para que os mínimos coincidam. Por exemplo:
  • Se m=1, então n=2 (o que já sabemos que acontece pela condição inicial).
  • Se m=2, então n=4.
  • Se m=3, então n=6, e assim por diante.

Resposta

Sim, a coincidência dos mínimos ocorre para os mínimos onde o número n é o dobro de m, ou seja, para todos os pares de mínimos tais que n = 2m.

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