(0.5) Um fenômeno de turbulência em fluxo uniforme que passa por um cilindro circular é modelado pela equação diferencial
a) Mostre que
é solução da equação diferencial (5).
b) Determine a solução geral em função de uma integral
b) Determine a solução geral em função de uma integral
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes dependentes de
:
pede em (a) mostrar que
é uma solução; e em (b) obter a solução geral em função de uma integral. O conteúdo envolvido é reconhecimento de solução particular e método de redução de ordem para equações lineares de segunda ordem.
Passo 2
Verificamos diretamente que
satisfaz a equação. Primeiro calculemos as derivadas:
Agora substituímos em
:
Logo
é solução.
Passo 3
Para obter a segunda solução usamos o método de redução de ordem. Na forma padrão
temos
. Dada uma solução
, a segunda solução é
Aqui
Portanto o integrando é
e assim
Passo 4
A solução geral da equação é combinação linear das duas soluções independentes:
onde
e
são constantes de integração.