(0.5) Um fenômeno de turbulência em fluxo uniforme que passa por um cilindro circular é modelado pela equação diferencial
y^prime prime+omega t y^prime+omega y=0
a) Mostre que y(t)=e^-omega t^22 é solução da equação diferencial (5).
b) Determine a solução geral em função de uma integral

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes dependentes de t:
y'' + omega,t,y' + omega,y = 0
pede em (a) mostrar que
y1(t)=e^-omega t^22
é uma solução; e em (b) obter a solução geral em função de uma integral. O conteúdo envolvido é reconhecimento de solução particular e método de redução de ordem para equações lineares de segunda ordem.

Passo 2

Verificamos diretamente que y1(t)=e^-omega t^22 satisfaz a equação. Primeiro calculemos as derivadas:
y1' = ddte^-omega t^22 = -omega t,e^-omega t^22,
y1'' = ddtl(-omega t,e^-omega t^22r) = l(-omega + omega^2 t^2r)e^-omega t^22
Agora substituímos em y'' + omega t,y' + omega y:
y1'' + omega t,y1' + omega y1 = l(-omega + omega^2 t^2r)e^-omega t^22 + omega tl(-omega t,e^-omega t^22r) + omega,e^-omega t^22 = 0
Logo y1 é solução.

Passo 3

Para obter a segunda solução usamos o método de redução de ordem. Na forma padrão
y'' + P(t),y' + Q(t),y = 0
temos P(t)=omega t. Dada uma solução y1, a segunda solução é
y2(t) = y1(t)integral e^-integral P(t),dty1(t)^2,dt
Aqui
integral P(t),dt = integral omega t,dt = omega t^22, e^-integral P(t),dt = e^-omega t^22, y1(t)^2 = e^-omega t^2
Portanto o integrando é
e^-omega t^22e^-omega t^2 = e^omega t^22,
e assim
y2(t) = e^-omega t^22 integral e^omega s^22,ds

Passo 4

A solução geral da equação é combinação linear das duas soluções independentes:
y(t) = C1,y1(t) + C2,y2(t) = C1,e^-omega t^22 + C2,e^-omega t^22 integral^t e^omega s^22,ds,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Resposta

boxedy(t)=C1,e^-omega t^22 + C2,e^-omega t^22 integral^t e^omega s^22,ds

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