4 - Os sistemas de detecção de radar e de mísseis militares são concebidos para prevenir um país contra ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade é se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque e emitir um aviso. Considere que um determinado sistema de detecção tenha uma probabilidade de 0,90 de detectar um ataque de míssil.
a) Qual é a probabilidade de que um sistema de detecção simples detectará um ataque?
b) Se dois sistemas de detecção são instalados na mesma área e operam independentemente, qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detectará o ataque?
c) Se três sistemas são instalados, qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detectará o ataque?
d) Você recomendará que múltiplos sistemas de detecção fossem usados? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que cada sistema de detecção tem probabilidade de 0,90 de detectar um ataque (ou seja, falha com probabilidade 1-0,90=0,10). Como os sistemas operam de forma independente, vamos usar a regra do evento complementar para “pelo menos um” detectar o ataque:
P(pelo menos um detecta) ;=; 1 - P(nenhum detecta)

Passo 2

Para um único sistema a probabilidade de detectar é dada diretamente pelo enunciado, logo
(a);P(sistema simp<=s detecta) = 0,90

Passo 3

Se temos dois sistemas independentes, a probabilidade de nenhum detectar é
P(nenhum detecta em 2) = (0,10)^2 = 0,01
Logo a probabilidade de pelo menos um detectar é
(b);1 - 0,01 = 0,99

Passo 4

Com três sistemas independentes, a falha conjunta é
P(nenhum detecta em 3) = (0,10)^3 = 0,001,
então a chance de êxito de pelo menos um é
(c);1 - 0,001 = 0,999

Passo 5

Recomendar múltiplos sistemas faz sentido porque cada sistema extra reduz fortemente a chance de falha total. Observe a lei dos retornos decrescentes: do primeiro para o segundo a detecção sobe de 0,90 para 0,99 (ganho de 0,09), e do segundo para o terceiro vai a 0,999 (ganho de 0,009). Mesmo assim, se o custo e o espaço permitirem, usar dois ou três sistemas aumenta muito a confiabilidade do alerta.

Resposta

a) 0,90
b) 0,99
c) 0,999
d) Sim. Usar múltiplos sistemas independentes eleva significativamente a probabilidade de detectar um ataque, reduzindo muito a chance de falha total.

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