4 - Os sistemas de detecção de radar e de mísseis militares são concebidos para prevenir um país contra ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade é se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque e emitir um aviso. Considere que um determinado sistema de detecção tenha uma probabilidade de 0,90 de detectar um ataque de míssil.
a) Qual é a probabilidade de que um sistema de detecção simples detectará um ataque?
b) Se dois sistemas de detecção são instalados na mesma área e operam independentemente, qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detectará o ataque?
c) Se três sistemas são instalados, qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detectará o ataque?
d) Você recomendará que múltiplos sistemas de detecção fossem usados? Explique.
a) Qual é a probabilidade de que um sistema de detecção simples detectará um ataque?
b) Se dois sistemas de detecção são instalados na mesma área e operam independentemente, qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detectará o ataque?
c) Se três sistemas são instalados, qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detectará o ataque?
d) Você recomendará que múltiplos sistemas de detecção fossem usados? Explique.
Passo 1
O enunciado diz que cada sistema de detecção tem probabilidade de
de detectar um ataque (ou seja, falha com probabilidade
). Como os sistemas operam de forma independente, vamos usar a regra do evento complementar para “pelo menos um” detectar o ataque:
Passo 2
Para um único sistema a probabilidade de detectar é dada diretamente pelo enunciado, logo
Passo 3
Se temos dois sistemas independentes, a probabilidade de nenhum detectar é
Logo a probabilidade de pelo menos um detectar é
Passo 4
Com três sistemas independentes, a falha conjunta é
então a chance de êxito de pelo menos um é
Passo 5
Recomendar múltiplos sistemas faz sentido porque cada sistema extra reduz fortemente a chance de falha total. Observe a lei dos retornos decrescentes: do primeiro para o segundo a detecção sobe de
para
(ganho de
), e do segundo para o terceiro vai a
(ganho de
). Mesmo assim, se o custo e o espaço permitirem, usar dois ou três sistemas aumenta muito a confiabilidade do alerta.
Resposta
a)
b)
c)
d) Sim. Usar múltiplos sistemas independentes eleva significativamente a probabilidade de detectar um ataque, reduzindo muito a chance de falha total.
b)
c)
d) Sim. Usar múltiplos sistemas independentes eleva significativamente a probabilidade de detectar um ataque, reduzindo muito a chance de falha total.