1. Um fermento cresce a uma taxa proporcional à sua quantidade inicial. Se a quantidade original duplica em duas horas, quantas horas serão necessárias para que a quantidade de fermento triplique?
  2. Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Se a quantidade original duplica em um dia, qual será a quantidade existente em cinco dias?

Passo 1

O enunciado trata de crescimento exponencial em que a taxa de variação é proporcional à quantidade presente. A equação diferencial é
dAdt = k,A
cuja solução é
A(t) = A0,e^k t
Vamos usar os dados de duplicação para encontrar k em cada caso e depois:
– No item 12, achar o tempo t para triplicar.
– No item 13, achar A(5) sabendo que dobra em 1 dia.

Passo 2

Para o item 12, a quantidade dobra em 2 horas, isto é
A(2) = A0,e^kcdot2 = 2,A0
Logo
e^2k = 2 Longrightarrow 2k = ln 2 Longrightarrow k = ln 22

Passo 3

Ainda no item 12, queremos o tempo t tal que A(t)=3A0. Então
A0,e^k t = 3,A0 Longrightarrow e^k t = 3 Longrightarrow t = ln 3k = ln 3(ln 2)/2 = 2,ln 3ln 2

Passo 4

Para o item 13, a duplicação em 1 dia dá
e^kcdot1 = 2 Longrightarrow k = ln 2
Em 5 dias a quantidade será
A(5) = A0,e^kcdot5 = A0,e^5ln 2 = A0,2^5 = 32,A0

Resposta

  1. t = 2,ln 3ln 2approx 4,58 horas.
  2. A(5)=32,A0.

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