(FGV-2005) Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que seu valor y , daqui a x anos, será \mathrm{y}=\mathrm{A} . k^{x}, em que A e k são constantes positivas. Se hoje o computador vale \mathrm{R} \ 5000,00$ e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será:
a) \mathrm{R} \ 625,00 . b) \(\mathrm{R} \\) 550,00.
c) R \ 575,00 . d) \(\mathrm{R} \\) 600,00.
e) R \ 650,00$.

Passo 1

O enunciado descreve uma depreciação exponencial dada por
y = A\,k^{x},
onde y é o valor em reais após x anos, e A e k são constantes positivas. Sabemos que hoje x=0 vale R$5000 e que daqui a 2 anos x=2 valerá a metade, ou seja R$ 2500. Precisamos achar o valor em x=6.

Passo 2

Em x=0 temos
y(0) = A\,k^{0} = A = 5000.
Logo, A = 5000.

Passo 3

Em x=2 vale a metade, isto é
5000\,k^{2} = 2500
\implies k^{2} = 0,5
\implies k = \sqrt{0,5}.

Passo 4

Para x=6 temos
y(6) = 5000\,k^{6} = 5000\,(k^{2})^{3} = 5000\,(0,5)^{3} = 5000 \times 0,125 = 625.

Resposta

a) R$ 625,00.

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