(FGV - 2013) Um triângulo tem lados cujas medidas em centímetros são números inteiros. Um dos lados mede 12 cm e, dos outros dois, um deles mede o dobro do outro. O menor perímetro possível para esse triângulo é
(a) 21 cm .
(b) 24 cm .
(c) 27 cm .
(d) 30 cm .
(a) 21 cm .
(b) 24 cm .
(c) 27 cm .
(d) 30 cm .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O enunciado diz que os comprimentos dos lados do triângulo são números inteiros (em centímetros).
- Um dos lados mede
cm. - Dos outros dois lados, um mede o dobro do outro.
- A pergunta: qual é o menor perímetro possível para esse triângulo?
Passo 2
Vamos traduzir a informação em variáveis numéricas. Seja
o menor entre os dois lados que estão em proporção
. Como são inteiros,
é um inteiro positivo. Então os três lados do triângulo são:
Passo 3
Lembrete importante (a regra que determina se três comprimentos formam um triângulo): a desigualdade triangular — a soma de quaisquer dois lados deve ser estritamente maior que o terceiro lado. Escrevendo as três desigualdades:
Cada uma deve ser satisfeita simultaneamente.
Passo 4
Vamos simplificar cada desigualdade e interpretar o que elas obrigam sobre
.
Da primeira:
Da segunda:
Da terceira:
que é sempre verdadeira para
, então não impõe nova restrição.
Como
é inteiro e
e
, concluímos que os valores possíveis de
são os inteiros
Passo 5
Agora expressamos o perímetro
em função de
. O perímetro é a soma dos três lados:
Para minimizar
devemos escolher o menor
possível dentro das opções válidas. O menor
possível é
. Substituindo:
Passo 6
Verificação rápida: com
os lados são
. Conferindo as desigualdades:
Tudo ok — esses comprimentos formam um triângulo, e o perímetro é
cm. Portanto esse é o menor perímetro possível.
Resposta
27 cm.