(FGV - 2013) Um triângulo tem lados cujas medidas em centímetros são números inteiros. Um dos lados mede 12 cm e, dos outros dois, um deles mede o dobro do outro. O menor perímetro possível para esse triângulo é
(a) 21 cm .
(b) 24 cm .
(c) 27 cm .
(d) 30 cm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado diz que os comprimentos dos lados do triângulo são números inteiros (em centímetros).
  • Um dos lados mede 12 cm.
  • Dos outros dois lados, um mede o dobro do outro.
  • A pergunta: qual é o menor perímetro possível para esse triângulo?

Passo 2

Vamos traduzir a informação em variáveis numéricas. Seja x o menor entre os dois lados que estão em proporção 2:1. Como são inteiros, x é um inteiro positivo. Então os três lados do triângulo são:
12,\quad x,\quad 2x.

Passo 3

Lembrete importante (a regra que determina se três comprimentos formam um triângulo): a desigualdade triangular — a soma de quaisquer dois lados deve ser estritamente maior que o terceiro lado. Escrevendo as três desigualdades:
x + 2x > 12,
12 + x > 2x,
12 + 2x > x.
Cada uma deve ser satisfeita simultaneamente.

Passo 4

Vamos simplificar cada desigualdade e interpretar o que elas obrigam sobre x.
Da primeira:
x + 2x > 12 \quad\Rightarrow\quad 3x > 12 \quad\Rightarrow\quad x > 4.
Da segunda:
12 + x > 2x \quad\Rightarrow\quad 12 > x \quad\Rightarrow\quad x < 12.
Da terceira:
12 + 2x > x \quad\Rightarrow\quad 12 + x > 0,
que é sempre verdadeira para x>0, então não impõe nova restrição.
Como x é inteiro e x>4 e x<12, concluímos que os valores possíveis de x são os inteiros
x\in\{5,6,7,8,9,10,11\}.

Passo 5

Agora expressamos o perímetro P em função de x. O perímetro é a soma dos três lados:
P = 12 + x + 2x = 12 + 3x.
Para minimizar P devemos escolher o menor x possível dentro das opções válidas. O menor x possível é x=5. Substituindo:
P_{\min} = 12 + 3\cdot 5 = 12 + 15 = 27.

Passo 6

Verificação rápida: com x=5 os lados são 12,5,10. Conferindo as desigualdades:
5 + 10 = 15 > 12,\qquad 12 + 5 = 17 > 10,\qquad 12 + 10 = 22 > 5.
Tudo ok — esses comprimentos formam um triângulo, e o perímetro é 27 cm. Portanto esse é o menor perímetro possível.

Resposta

27 cm.

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