(IGEDUC - 2023) Para um trapézio A B C D com bases A B=x e C D=y, onde x é maior do que y, e altura h, é válido afirmar que a diferença entre as áreas dos triângulos com base em A B e C D, e com vértices opostos localizados na interseção das diagonais, é igual a (x-y) * h / 2.
(a) Verdadeiro
(b) Falso

Passo 1

O enunciado dá um trapézio A B C D com:
  • base maior A B = x,
  • base menor C D = y, com x>y,
  • altura h.
O que se pede: verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Afirmação: “A diferença entre as áreas dos triângulos com base em A B e C D, e com vértices opostos localizados na interseção das diagonais, é igual a \dfrac{(x-y)\,h}{2}.”
Portanto, preciso calcular as áreas dos triângulos formados pelas bases AB e CD com vértice no ponto de interseção das diagonais, subtrair essas áreas e comparar o resultado com \dfrac{(x-y)\,h}{2}.

Passo 2

Para resolver de forma geral, vamos colocar o trapézio num sistema de coordenadas (isso é só para calcular com contas; a posição exata no plano não altera o resultado). Escolho:
  • A=(0,0),
  • B=(x,0) (logo AB está sobre o eixo x),
  • tomo um deslocamento horizontal arbitrário d para a base superior,
  • D=(d,h),
  • C=(d+y,h) (assim CD tem comprimento y e está na reta y=h).
Observação: o parâmetro d representa o quanto a base CD está deslocada em relação a A; se o resultado final não depender de d, está provado que a relação é geral.

Passo 3

Escrevo as retas das diagonais em forma paramétrica:
Diagonal AC (de A até C):
AC: \; (x(s),y(s)) = A + s(C-A) = \big(s(d+y),\; s h\big),\qquad s\in[0,1].
Diagonal BD (de B até D):
BD: \; (x(t),y(t)) = B + t(D-B) = \big(x + t(d-x),\; t h\big),\qquad t\in[0,1].
O ponto de interseção das diagonais é o mesmo ponto para algum s e t; logo devemos ter
s h = t h \quad\Rightarrow\quad s=t.
Chamo esse parâmetro comum de s.

Passo 4

Com s=t, igualo as coordenadas x das duas parametrizações:
s(d+y) = x + s(d-x).
Rearranjando:
s\big((d+y)-(d-x)\big) = x \quad\Rightarrow\quad s(x+y)=x.
Logo
s = \frac{x}{x+y}.
Portanto o ponto de interseção O tem coordenadas (uso a parametrização de AC):
O = \Big(s(d+y),\; s h\Big) = \Big(\frac{x}{x+y}(d+y),\; \frac{x}{x+y}h\Big).
Importante: a coordenada vertical de O é
y_O = \frac{x}{x+y}h.

Passo 5

Agora calculo a área do triângulo com base em AB e vértice em O. Como AB está na reta y=0 e tem comprimento x, a altura desse triângulo em relação a AB é simplesmente a ordenada de O, isto é y_O. A fórmula da área de um triângulo usando base e altura é
\text{área} = \frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}.á
Aplicando:
\text{Área}_{ABO} = \frac{1}{2}\cdot x \cdot y_O = \frac{1}{2}\cdot x \cdot \frac{x}{x+y}h = \frac{1}{2}h\cdot\frac{x^{2}}{x+y}.Á

Passo 6

Agora a área do triângulo com base em CD e vértice em O. A base CD está na reta y=h e tem comprimento y. A altura desse triângulo (distância de O até a reta y=h) é
h - y_O = h - \frac{x}{x+y}h = h\left(1-\frac{x}{x+y}\right) = h\cdot\frac{y}{x+y}.
Aplicando a fórmula da área:
\text{Área}_{CDO} = \frac{1}{2}\cdot y \cdot \left(h\cdot\frac{y}{x+y}\right) = \frac{1}{2}h\cdot\frac{y^{2}}{x+y}.Á

Passo 7

Subtraio as áreas:
\text{Área}_{ABO}-\text{Área}_{CDO} = \frac{1}{2}h\left(\frac{x^{2}}{x+y}-\frac{y^{2}}{x+y}\right) = \frac{1}{2}h\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}.ÁÁ
Uso fatoração x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y):
\text{Área}_{ABO}-\text{Área}_{CDO} = \frac{1}{2}h\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{x+y} = \frac{1}{2}h\,(x-y).ÁÁ
Portanto o resultado é exatamente \dfrac{(x-y)\,h}{2}. Note que d (o deslocamento horizontal escolhido) cancelou implicitamente, então o resultado vale para qualquer trapézio com essas bases e altura.

Passo 8

Interpretação final: a diferença entre as áreas dos dois triângulos pedida no enunciado é igual a \dfrac{(x-y)\,h}{2}. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeiro

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