(IGEDUC - 2023) Para um trapézio
com bases
e
, onde
é maior do que
, e altura
, é válido afirmar que a diferença entre as áreas dos triângulos com base em
e
, e com vértices opostos localizados na interseção das diagonais, é igual a
.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(a) Verdadeiro
(b) Falso
Passo 1
O enunciado dá um trapézio
com:
- base maior
, - base menor
, com , - altura
.
O que se pede: verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Afirmação: “A diferença entre as áreas dos triângulos com base em
e
, e com vértices opostos localizados na interseção das diagonais, é igual a
.”
Portanto, preciso calcular as áreas dos triângulos formados pelas bases
e
com vértice no ponto de interseção das diagonais, subtrair essas áreas e comparar o resultado com
.
Passo 2
Para resolver de forma geral, vamos colocar o trapézio num sistema de coordenadas (isso é só para calcular com contas; a posição exata no plano não altera o resultado). Escolho:
-
, -
(logo está sobre o eixo ), - tomo um deslocamento horizontal arbitrário
para a base superior, -
, -
(assim tem comprimento e está na reta ).
Observação: o parâmetro
representa o quanto a base
está deslocada em relação a
; se o resultado final não depender de
, está provado que a relação é geral.
Passo 3
Escrevo as retas das diagonais em forma paramétrica:
Diagonal
(de
até
):
Diagonal
(de
até
):
O ponto de interseção das diagonais é o mesmo ponto para algum
e
; logo devemos ter
Chamo esse parâmetro comum de
.
Passo 4
Com
, igualo as coordenadas
das duas parametrizações:
Rearranjando:
Logo
Portanto o ponto de interseção
tem coordenadas (uso a parametrização de
):
Importante: a coordenada vertical de
é
Passo 5
Agora calculo a área do triângulo com base em
e vértice em
. Como
está na reta
e tem comprimento
, a altura desse triângulo em relação a
é simplesmente a ordenada de
, isto é
. A fórmula da área de um triângulo usando base e altura é
Aplicando:
Passo 6
Agora a área do triângulo com base em
e vértice em
. A base
está na reta
e tem comprimento
. A altura desse triângulo (distância de
até a reta
) é
Aplicando a fórmula da área:
Passo 7
Subtraio as áreas:
Uso fatoração
:
Portanto o resultado é exatamente
. Note que
(o deslocamento horizontal escolhido) cancelou implicitamente, então o resultado vale para qualquer trapézio com essas bases e altura.
Passo 8
Interpretação final: a diferença entre as áreas dos dois triângulos pedida no enunciado é igual a
. A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeiro