(IGEDUC-2023) Considere um triângulo A B C, que é isósceles de base B C. Podemos afirmar que se P é um ponto localizado no lado B C, então a soma das distâncias de P aos outros lados é menor do que a altura relativa ao vértice B.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dado: um triângulo A B C que é isósceles de base B C. Isso significa que A é o vértice do “topo” e que A B = A C.
Dado: P é um ponto localizado no lado B C.
Pedido: verificar a afirmação "a soma das distâncias de P aos outros lados é menor do que a altura relativa ao vértice B".
Aqui “as outras lados” quer dizer as duas retas dos lados A B e A C; portanto consideramos d(P,AB)+d(P,AC).
"Altura relativa ao vértice B" significa a distância do vértice B à reta A C; chamarei essa altura de h_B.
O enunciado é uma afirmação do tipo (a) Verdadeiro ou (b) Falso; a tarefa é decidir qual alternativa é correta.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas que simplifique a conta. Como o triângulo é isósceles com base B C, é natural colocar a base sobre o eixo x e o vértice A sobre o eixo y para explorar a simetria.
Defino:
B=(-b,0),\qquad C=(b,0),\qquad A=(0,a),
com a>0 e b>0. Assim B C é o segmento do eixo x entre -b e b, e A está em cima do eixo x. Qualquer ponto P em B C tem coordenada P=(x,0) com -b\le x\le b. Essa escolha é legítima porque qualquer triângulo isósceles com base B C pode ser levado por uma transformação rígida (translação+rotação) a essa posição.
Passo 3
Vou lembrar a fórmula da distância de um ponto a uma reta — é essencial e deve ser usada aqui.
Se a reta tem equação A x + B y + C = 0 e o ponto é (x_0,y_0), então a distância do ponto à reta é
d=\frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
Explicando: A,B,C são os coeficientes da equação da reta; substitui-se as coordenadas do ponto no numerador (valor absoluto) e divide-se pela norma do vetor normal (A,B).
Passo 4
Encontrar as equações das retas A C e A B.
Reta A C: passa por A=(0,a) e C=(b,0). A equação na forma afim é
y = a - \frac{a}{b}\,x.
Colocando em forma A x + B y + C = 0:
\frac{a}{b}\,x + y - a = 0.
Reta A B: passa por A=(0,a) e B=(-b,0). A equação é
y = a + \frac{a}{b}\,x,
ou em forma padrão:
-\frac{a}{b}\,x + y - a = 0.
Passo 5
Calcular a distância de um ponto genérico P=(x,0) às retas A C e A B usando a fórmula do Passo 3.
Somar as duas distâncias. Para x entre -b e b temos -1\le \dfrac{x}{b}\le 1. Então \dfrac{x}{b}-1\le 0 e \dfrac{x}{b}+1\ge 0, portanto os valores absolutos podem ser removidos com sinais conhecidos:
Concluímos que, para qualquer P sobre B C, a soma d(P,AC)+d(P,AB) é sempre igual a \dfrac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}} — ou seja, é constante ao longo do segmento B C.
Passo 8
Calcular a altura relativa ao vértice B, ou seja, h_B=d(B,AC), e comparar com a soma anterior.
Usando a fórmula da distância para o ponto B=(-b,0) e a equação de A C (que era \tfrac{a}{b}x+y-a=0), temos
para todo P em B C. Ou seja, a soma das distâncias é exatamente igual à altura relativa ao vértice B, não menor.
Passo 9
Interpretação e conclusão final (motivação geométrica rápida). O cálculo mostra que, por simetria do triângulo isósceles, as projeções perpendiculares dos segmentos que ligam P às duas laterais se alinham de forma que suas somas constroem precisamente a distância do vértice B à reta A C. Portanto a afirmativa "a soma das distâncias de P aos outros lados é menor do que a altura relativa ao vértice B" é falsa — a soma é igual àquela altura para todo P em B C.