(FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacente a um rio. Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é…

Passo 1

O enunciado diz que temos 60 m de cerca para cercar um terreno retangular com um lado apoiado num rio, onde não é preciso cercar. O conteúdo aqui é otimização de área por meio de uma função quadrática sujeita a uma restrição de perímetro.

Passo 2

Definimos:
  • x = largura do retângulo (lados perpendiculares ao rio)
  • y = comprimento do retângulo (lado paralelo ao rio, oposto ao rio)
    Como só cercamos três lados, a restrição de cerca é
2x + y = 60
Dessa forma,
y = 60 - 2x
e a área é
A(x) = x cdot y = x,(60 - 2x) = 60x - 2x^2

Passo 3

Para encontrar o máximo de A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 60 - 4x, A'(x)=0;Rightarrow;60 - 4x = 0;Rightarrow;x = 15
Verificamos que
A''(x) = -4 < 0,
logo A(x) é côncava para baixo e x=15 dá o máximo.

Passo 4

Com x=15, obtemos
y = 60 - 2cdot15 = 30
e a área máxima
Amax = 15 times 30 = 450

Resposta

A área máxima é 450 m^2.

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