(FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacente a um rio. Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é…
Passo 1
O enunciado diz que temos
m de cerca para cercar um terreno retangular com um lado apoiado num rio, onde não é preciso cercar. O conteúdo aqui é otimização de área por meio de uma função quadrática sujeita a uma restrição de perímetro.
Passo 2
Definimos:
-
largura do retângulo (lados perpendiculares ao rio) -
comprimento do retângulo (lado paralelo ao rio, oposto ao rio)
Como só cercamos três lados, a restrição de cerca é
Dessa forma,
e a área é
Passo 3
Para encontrar o máximo de
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Verificamos que
logo
é côncava para baixo e
dá o máximo.
Passo 4
Com
, obtemos
e a área máxima
Resposta
A área máxima é
.