Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s homogêneas.
l(yx-e^yx) d x-d y=0 y(1)=4

Passo 1

Resumindo, queremos resolver o PVI
l(yx-e^yxr),dx - dy = 0,
com condição y(1)=4. Note que o coeficiente de dx depende apenas de y/x, então é uma EDO homogênea. Vamos usar a substituição v=y/x.

Passo 2

Colocamos a EDO em forma explícita:
dydx = yx - e^yx
Como y=v x, temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na EDO,
v + xdvdx = v - e^v Longrightarrow xdvdx = -,e^v

Passo 3

É uma equação separável:
dve^v = -dxx
Integrando ambos os lados,
integral e^-v,dv = -integral dxx ;Longrightarrow; -,e^-v = -ln|x| + C
Multiplicando por -1, fica
e^-v = ln|x| + K,
onde K é constante de integração.

Passo 4

Voltando a v=y/x, obtemos a solução implícita
e^-y/x = ln|x| + K
Usando a condição inicial y(1)=4,
e^-4/1 = ln1 + K ;Longrightarrow; e^-4 = 0 + K ;Longrightarrow; K = e^-4

Passo 5

A solução particular do PVI é
e^-y/x = ln|x| + e^-4
Isolando y,
-,yx = lnl(ln|x| + e^-4r) Longrightarrow y = -,x,lnl(ln|x| + e^-4r)

Resposta

boxedy(x) = -,x,lnl(ln|x| + e^-4r),
que satisfaz y(1)=4.

Exercícios relacionados