FGV-Banco do Estado do Espirito Santo
A secretária disse ao advogado:
“Fechei a janela e não mexi nos papéis”.
Algum tempo depois, o advogado descobriu que o que disse a secretária não era verdade.
É correto concluir que a secretária:
A)fechou a janela e mexeu nos papéis;
B)não fechou a janela e não mexeu nos papéis;
C)não fechou a janela e mexeu nos papéis;
D)fechou a janela ou não mexeu nos papéis;
E)não fechou a janela ou mexeu nos papéis.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a secretária disse “Fechei a janela e não mexi nos papéis”. Algum tempo depois o advogado descobriu que o que ela disse não era verdade. O enunciado pergunta qual das alternativas A)–E) pode ser corretamente concluída a partir dessa descoberta.
Informações importantes dadas:
  • A declaração feita pela secretária foi: “fechei a janela e não mexi nos papéis”.
  • Foi descoberto que essa declaração é falsa (ou seja, a declaração inteira não é verdadeira).
As alternativas (como estão no enunciado) são:
A) fechou a janela e mexeu nos papéis;
B) não fechou a janela e não mexeu nos papéis;
C) não fechou a janela e mexeu nos papéis;
D) fechou a janela ou não mexeu nos papéis;
E) não fechou a janela ou mexeu nos papéis.

Passo 2

Vamos traduzir a frase para símbolos lógicos para ficar claro e poder raciocinar sem ambiguidade.
Defina duas proposições:
  • F: “fechou a janela” (verdadeira se ela fechou a janela, falsa caso contrário);
  • P: “mexeu nos papéis” (verdadeira se ela mexeu, falsa caso contrário).
Então a afirmação que a secretária fez é a conjunção
F \land \lnot P,
ou seja: “fechou a janela E NÃO mexeu nos papéis”.
O advogado descobriu que essa afirmação é falsa, logo sabemos que vale
\lnot\bigl(F \land \lnot P\bigr).

Passo 3

Pequena revisão de conceitos (pra gente não se perder):
  • A conjunção A \land B é verdadeira somente quando A e B são verdadeiros ao mesmo tempo.
  • A negação \lnot A torna verdadeira uma proposição falsa e falsa uma proposição verdadeira.
  • A disjunção A \lor B (o “ou” lógico) é verdadeira sempre que pelo menos uma das proposições A ou B for verdadeira (é o “ou” inclusivo).
Vamos também montar a tabela de possibilidades (só 4 casos) para F e P, e verificar F \land \lnot P e sua negação.
  • Caso 1: F=\text{V},\; P=\text{V}. Então F \land \lnot P = \text{V} \land \text{F} = \text{F}. Logo \lnot(F\land\lnot P)=\text{V}.
  • Caso 2: F=\text{V},\; P=\text{F}. Então F \land \lnot P = \text{V} \land \text{V} = \text{V}. Logo \lnot(F\land\lnot P)=\text{F}.
  • Caso 3: F=\text{F},\; P=\text{V}. Então F \land \lnot P = \text{F} \land \text{F} = \text{F}. Logo \lnot(F\land\lnot P)=\text{V}.
  • Caso 4: F=\text{F},\; P=\text{F}. Então F \land \lnot P = \text{F} \land \text{V} = \text{F}. Logo \lnot(F\land\lnot P)=\text{V}.
Observação importante: o único caso que torna a afirmação original verdadeira é o Caso 2 ( F=\text{V}, P=\text{F}). Como foi descoberto que a afirmação ORIGINAL é falsa, isso apenas nos diz que NÃO estamos no Caso 2. Ou seja, estamos em um dos outros três casos (1, 3 ou 4).

Passo 4

Agora usemos uma lei lógica conhecida (lei de De Morgan) para reescrever a negação de uma conjunção de forma mais direta:
\lnot\bigl(F \land \lnot P\bigr) \equiv \lnot F \lor \lnot\lnot P.
Aplicando dupla negação \lnot\lnot P \equiv P, obtemos
\lnot\bigl(F \land \lnot P\bigr) \equiv \lnot F \lor P.
Interpretação em linguagem natural: “Não (fechei a janela e não mexi nos papéis)” equivale a “ou eu não fechei a janela, ou eu mexi nos papéis (ou ambas)”.

Passo 5

Agora vamos expressar cada alternativa em termos de F e P, para comparar com o que deduzimos:
  • A) “fechou a janela e mexeu nos papéis” é F \land P.
  • B) “não fechou a janela e não mexeu nos papéis” é \lnot F \land \lnot P.
  • C) “não fechou a janela e mexeu nos papéis” é \lnot F \land P.
  • D) “fechou a janela ou não mexeu nos papéis” é F \lor \lnot P.
  • E) “não fechou a janela ou mexeu nos papéis” é \lnot F \lor P.
Compare isso com o que já deduzimos: a informação verdadeira é \lnot F \lor P. Portanto a alternativa E corresponde exatamente à negação da afirmação original escrita de forma equivalente.

Passo 6

Verificação de que somente E é logicamente garantida:
  • A ( F\land P) não é garantida: por exemplo, no Caso 4 ( F=\text{F},P=\text{F}) a negação \lnot(F\land\lnot P) é verdadeira, mas F\land P é falsa. Então A pode ser falsa mesmo sabendo que a declaração original é falsa.
  • B ( \lnot F\land\lnot P) também não é garantida: no Caso 1 ( F=\text{V},P=\text{V}) a negação é verdadeira, mas B é falsa.
  • C ( \lnot F\land P) não é garantida: no Caso 4 ( F=\text{F},P=\text{F}) a negação é verdadeira, mas C é falsa.
  • D ( F\lor\lnot P) não é garantida: no Caso 3 ( F=\text{F},P=\text{V}) a negação é verdadeira, mas F\lor\lnot P=\text{F}.
  • E ( \lnot F\lor P) é verdadeira em todos os casos em que \lnot(F\land\lnot P) é verdadeira — na verdade é logicamente equivalente a essa negação, como vimos por De Morgan.
Portanto, a única conclusão logicamente correta, que sempre se segue do fato “a afirmação “ F \land \lnot P” é falsa”, é \lnot F \lor P, que é a alternativa E.

Resposta

E) não fechou a janela ou mexeu nos papéis.

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