(FGV-SP) Como consequência da construção de futura estação de Metrô, estima-se que uma casa que hoje vale \mathrm{R} \ 280000,00 tenha um crescimento linear com o tempo (isto é, o gráfico do valor do imóvel em função do tempo é uma reta), de modo que a estimativa de seu valor daqui a 3 anos seja deéáóçãé\mathrm{R} $325000,00 . Nessas condições, o valor estimado dessa casa daqui a 4 anos e 3 meses será de: a) \(R \\) 346000,00
b) \mathrm{R} \ 345250,00$
c) \mathrm{R} \ 344500,00$
d) R \ 343750,00$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades numéricas abaixo estão exatamente como fornecidas):
  • Valor atual da casa: \text{R\$ }280000{,}00.
  • A evolução do valor no tempo é linear (o gráfico valor versus tempo é uma reta).
  • Estimativa do valor daqui a 3 anos: \text{R\$ }325000{,}00.
    O que o problema pede: estimar o valor da casa daqui a 4 anos e 3 meses.

Passo 2

Vamos representar matematicamente o crescimento linear. Seja V(t) o valor da casa (em reais) em função do tempo t (em anos), medido a partir de agora ( t=0 é o presente). Para crescimento linear usamos a forma
V(t)=a+b\,t,
onde:
  • a é o valor inicial (valor em t=0);
  • b é a razão de crescimento por ano (quanto, em reais, o imóvel aumenta por ano);
  • t é o tempo em anos;
  • V(t) é o valor estimado após t anos.
    A ideia prática: b é a inclinação da reta, calculada como a variação do valor dividida pela variação do tempo.

Passo 3

Usando os dados:
  • Como o valor atual é \text{R\$ }280000{,}00, temos
V(0)=a= \text{R\$ }280000{,}00.
  • Como V(3)=\text{R\$ }325000{,}00, substituindo na forma V(t)=a+b t obtemos
a+3b=\text{R\$ }325000{,}00.
Substituindo a=\text{R\$ }280000{,}00 nessa equação:
\text{R\$}280000{,}00 + 3b = \text{R\$ }325000{,}00.

Passo 4

Agora isolamos b. Subtraindo \text{R\$ }280000{,}00 dos dois lados:
3b = \text{R\$}325000{,}00 - \text{R\$ }280000{,}00 = \text{R\$ }45000{,}00.
Dividindo por 3:
b = \frac{\text{R\$}45000{,}00}{3} = \text{R\$ }15000{,}00\\ \text{por ano}.
Portanto a lei do valor é
V(t)=\text{R\$}280000{,}00 + \text{R\$ }15000{,}00\cdot t.

Passo 5

Converter o prazo pedido para anos: 4 anos e 3 meses é 4{,}25 anos (porque 3 meses = \tfrac{3}{12}=0{,}25 ano). Agora calculamos
V(4{,}25)=\text{R\$}280000{,}00 + \text{R\$ }15000{,}00\cdot 4{,}25.
Calculemos passo a passo:
\text{R\$}15000{,}00\cdot 4 = \text{R\$ }60000{,}00,
\text{R\$}15000{,}00\cdot 0{,}25 = \text{R\$ }3750{,}00,
\text{R\$}15000{,}00\cdot 4{,}25 = \text{R\$ }60000{,}00 + \text{R\$}3750{,}00 = \text{R\$ }63750{,}00.
Somando com o valor inicial:
V(4{,}25)=\text{R\$}280000{,}00 + \text{R\$ }63750{,}00 = \text{R\$ }343750{,}00.

Resposta

d) \text{R\$ }343750{,}00

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