Resolva a EDO
x y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=x^{4} .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
x\,y''-4\,y'=x^{4}.
Este é um caso de equação linear não homogênea em que não aparece y, só y' e y''. Vamos usar a técnica de redução de ordem definindo u=y', de modo a passar a um problema de primeira ordem para u.

Passo 2

Defina
u(x)=y'(x).
Então
y''(x)=u'(x),
e a equação original vira
x\,u'(x)-4\,u(x)=x^{4}.

Passo 3

Colocando em forma padrão de equação linear de primeira ordem em u, dividimos por x (supondo x\neq0):
u'(x)-\frac{4}{x}\,u(x)=x^{3}.
Aqui o coeficiente de u é -4/x e o termo independente é x^3.

Passo 4

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-4\ln|x|) =|x|^{-4}=x^{-4}\quad(\text{absorvendo o sinal em constantes}).
Multiplicando a equação por x^{-4} obtemos
x^{-4}u'(x)-4x^{-5}u(x)=x^{-1},
isto é
\bigl(x^{-4}u(x)\bigr)'=x^{-1}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-4}u(x)=\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C_{1}.
Logo
u(x)=y'(x)=x^{4}\bigl(\ln|x|+C_{1}\bigr).

Passo 6

Agora integramos y'(x) para achar y(x):
y(x)=\int x^{4}\ln|x|\,dx+C_{1}\int x^{4}\,dx+C_{2}.
Para \displaystyle\int x^{4}\ln|x|\,dx use integração por partes com
\displaystyle A=\ln|x|, dB=x^{4}dx. Assim
\int x^{4}\ln|x|\,dx =\frac{x^{5}}{5}\ln|x|-\int\frac{x^{5}}{5}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^{5}}{5}\ln|x|-\frac{1}{5}\int x^{4}\,dx =\frac{x^{5}}{5}\ln|x|-\frac{x^{5}}{25}.
E
\displaystyle\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}. Portanto
y(x) =\frac{x^{5}}{5}\ln|x|-\frac{x^{5}}{25} +C_{1}\,\frac{x^{5}}{5}+C_{2}.
Podemos agrupar as partes proporcionais a x^{5} numa só constante C_{3}.

Resposta

y(x) =\frac{x^{5}}{5}\ln|x|+C_{3}\,x^{5}+C_{2},
onde C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

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