(FGV) Cristina, Tarla e Vitória estão jogando um jogo no qual cada uma delas escolhe um número real entre 0 e 1. Vence o jogo aquele cujo número estiver compreendido entre os números escolhidos pelas outras duas. Cristina disse que iria escolher um número aleatoriamente entre 0 e 1 , de modo que a probabilidade dela escolher um número em dado intervalo é proporcional (e nesse caso igual) ao comprimento do intervalo. Tarla disse que faria o mesmo, mas que sortearia um número entre
e
. Sabendo dessas informações, qual número deve escolher Vitória para maximizar a sua probabilidade de ganhar o jogo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre Cristina, Tarla e Vitória que escolhem números entre 0 e 1. Quem ganha é quem escolher um número que fica entre os números das outras duas. Cristina escolhe qualquer número de 0 a 1 com igual probabilidade. Tarla escolhe de 1/4 a 1/2 igualmente também. Agora, a Vitória quer escolher um número para ter a maior chance de ganhar. Para resolver isso, vamos precisar entender probabilidades contínuas e como calcular a chance de um número estar entre outros dois.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja $ X $ o número que a Cristina escolhe, com distribuição uniforme em [0,1].
- Seja $ Y $ o número que a Tarla escolhe, com distribuição uniforme em [1/4, 1/2].
- Seja $ Z $ o número que a Vitória vai escolher, que queremos determinar para maximizar a probabilidade de $ Z $ estar entre $ X $ e $ Y $.
Passo 3
A probabilidade de Vitória ganhar é a chance de $ Z $ estar entre $ X $ e $ Y $. Matematicamente, isso é:
Como sabemos que $ Y $ está sempre entre 1/4 e 1/2, podemos analisar diferentes faixas para $ Z $:
- Se $ Z < 1/4 $: $ Y $ sempre será maior que $ Z $, então $ Z $ só pode estar entre $ X $ e $ Y $ se $ X < Z $. Mas como $ X $ pode ser menor ou maior que $ Z $, precisamos calcular essa probabilidade.
- Se $ 1/4 \leq Z \leq 1/2 $: Aqui, $ Z $ está dentro do intervalo de $ Y $, então há mais chance de $ Z $ estar entre $ X $ e $ Y $.
- Se $ Z > 1/2 $: $ Y $ sempre será menor que $ Z $, então $ Z $ só pode estar entre $ X $ e $ Y $ se $ X > Z $.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade para cada intervalo de $ Z $:
-
Para $ Z < 1/4 $:
- $ P(X < Z) = Z $ (já que $ X $ é uniforme em [0,1]).
- Como $ Y \geq 1/4 > Z $, a única possibilidade é $ X < Z $.
- Então, $ P(Vitória ganha) = P(X < Z) = Z $.
-
Para $ 1/4 \leq Z \leq 1/2 $:
- $ P(Y < Z) = \frac{Z - 1/4}{1/2 - 1/4} = 4Z - 1 $ (pois $ Y $ está entre 1/4 e 1/2).
- $ P(Z < X) = 1 - Z $.
- A probabilidade total é $ P(Y < Z < X) + P(X < Z < Y) = P(Y < Z) \cdot P(X > Z) + P(Y > Z) \cdot P(X < Z) = (4Z - 1)(1 - Z) + (1 - (4Z - 1))(Z) $.
- Simplificando, chega-se a $ 2Z - 1 $.
-
Para $ Z > 1/2 $:
- $ P(Y > Z) = 0 $ (já que $ Y \leq 1/2 $).
- A única possibilidade é $ P(X > Z) = 1 - Z $.
- Então, $ P(Vitória ganha) = P(X > Z) = 1 - Z $.
Passo 5
Agora, vamos visualizar as funções:
- Para $ Z < 1/4 $, a probabilidade aumenta linearmente com $ Z $.
- Para $ 1/4 \leq Z \leq 1/2 $, a probabilidade é $ 2Z - 1 $, que vai de -1/2 a 0. Isso não faz sentido, indicando que houve um erro na simplificação. Corrigindo:
Na verdade, para $ 1/4 \leq Z \leq 1/2 $:
Para maximizar essa função quadrática, derivamos em relação a $ Z $ e igualamos a zero:
Resposta
Portanto, para maximizar a chance de ganhar, Vitória deve escolher o número $ Z = \frac{3}{8} $.