(FGV-SP) No seu livro Introdução à Álgebra, Leonhard Euler propõe um curioso e interessante problema aos leitores:
Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para vender em uma feira e cada uma vai cobrar seu preço por ovo. Embora uma tivesse levado mais ovos que a outra, as duas receberam a mesma quantia em dinheiro. Uma delas disse, então:
“Se eu tivesse trazido o mesmo número de ovos que você trouxe, teria recebido 15 kreuzers” (antiga moeda austríaca).
Ao que a segunda respondeu:
“Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos que você trouxe, teria recebido \frac{20}{3} kreuzers”.
Releia o texto com atenção e responda: Quantos ovos carregava cada uma?

Passo 1

Resumindo o enunciado: duas camponesas trazem juntas 100 ovos e vendem cada uma ao seu preço, de modo que ambas recebem a mesma quantia em dinheiro. A primeira diz que, se tivesse trazido o mesmo número de ovos que a segunda, teria recebido 15 kreuzers; a segunda diz que, se tivesse trazido o número de ovos da primeira, teria recebido \tfrac{20}{3} kreuzers. O conteúdo aqui é montar um sistema de equações em Álgebra, definindo variáveis para os números de ovos e preços, e resolver essas equações junto com a condição x+y=100.

Passo 2

Definimos:
x = número de ovos da primeira,
y = número de ovos da segunda,
p = preço (em kreuzers) da primeira por ovo,
q = preço (em kreuzers) da segunda por ovo.
Como receberam a mesma quantia, chamemos esse valor de T. Então vale
xp = T \quad\text{e}\quad yq = T.

Passo 3

A primeira afirma que, se tivesse trazido y ovos, teria recebido 15 kreuzers. Como ela cobra p por ovo, isso dá
y\,p = 15.
Usando p = T/x, obtemos
y\;\frac{T}{x} = 15 \quad\Longrightarrow\quad T = 15\,\frac{x}{y}.

Passo 4

A segunda afirma que, se tivesse trazido x ovos, teria recebido \tfrac{20}{3} kreuzers. Como ela cobra q = T/y por ovo, resulta
x\,q = \frac{20}{3} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{T}{y} = \frac{20}{3}.
Substituindo T = 15\,\frac{x}{y} nesta expressão, vem
x\;\frac{15\,\frac{x}{y}}{y} = \frac{20}{3} \quad\Longrightarrow\quad 15\,\frac{x^2}{y^2} = \frac{20}{3}.

Passo 5

Da igualdade 15\,\frac{x^2}{y^2} = \tfrac{20}{3} segue
45\,\frac{x^2}{y^2} = 20 \quad\Longrightarrow\quad 9x^2 = 4y^2 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 2y.
Também temos x+y=100. Substituindo y = \tfrac{3}{2}x em x+y=100
x + \frac{3}{2}x = 100 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{2}x = 100 \quad\Longrightarrow\quad x = 40,
e então
y = 100 - 40 = 60.

Resposta

A primeira camponesa trazia 40 ovos e a segunda trazia 60 ovos.

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