(FGV-SP) No seu livro Introdução à Álgebra, Leonhard Euler propõe um curioso e interessante problema aos leitores:
Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para vender em uma feira e cada uma vai cobrar seu preço por ovo. Embora uma tivesse levado mais ovos que a outra, as duas receberam a mesma quantia em dinheiro. Uma delas disse, então:
“Se eu tivesse trazido o mesmo número de ovos que você trouxe, teria recebido 15 kreuzers” (antiga moeda austríaca).
Ao que a segunda respondeu:
“Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos que você trouxe, teria recebido
kreuzers”.
Releia o texto com atenção e responda: Quantos ovos carregava cada uma?
Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para vender em uma feira e cada uma vai cobrar seu preço por ovo. Embora uma tivesse levado mais ovos que a outra, as duas receberam a mesma quantia em dinheiro. Uma delas disse, então:
“Se eu tivesse trazido o mesmo número de ovos que você trouxe, teria recebido 15 kreuzers” (antiga moeda austríaca).
“Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos que você trouxe, teria recebido
Passo 1
Resumindo o enunciado: duas camponesas trazem juntas
ovos e vendem cada uma ao seu preço, de modo que ambas recebem a mesma quantia em dinheiro. A primeira diz que, se tivesse trazido o mesmo número de ovos que a segunda, teria recebido
kreuzers; a segunda diz que, se tivesse trazido o número de ovos da primeira, teria recebido
kreuzers. O conteúdo aqui é montar um sistema de equações em Álgebra, definindo variáveis para os números de ovos e preços, e resolver essas equações junto com a condição
.
Passo 2
Definimos:
número de ovos da primeira,
número de ovos da segunda,
preço (em kreuzers) da primeira por ovo,
preço (em kreuzers) da segunda por ovo.
Como receberam a mesma quantia, chamemos esse valor de . Então vale
Como receberam a mesma quantia, chamemos esse valor de
Passo 3
A primeira afirma que, se tivesse trazido
ovos, teria recebido
kreuzers. Como ela cobra
por ovo, isso dá
Usando
, obtemos
Passo 4
A segunda afirma que, se tivesse trazido
ovos, teria recebido
kreuzers. Como ela cobra
por ovo, resulta
Substituindo
nesta expressão, vem
Passo 5
Da igualdade
segue
Também temos
. Substituindo
em
dá
e então
Resposta
A primeira camponesa trazia
ovos e a segunda trazia
ovos.