(FIA) Numa progressão geométrica, tem-se
e
. A soma dos oito primeiros termos é:
(a) -1700
(b) -850
(c) 850
(d) 1700
(e) 750
(a) -1700
(b) -850
(c) 850
(d) 1700
(e) 750
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Em uma progressão geométrica (PG) sabe-se que
e . - Pede-se a soma dos oito primeiros termos, isto é,
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
-
. -
. - Quer-se
.
Passo 2
O que é uma progressão geométrica e a fórmula do termo geral.
- Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum
. - Se
é o primeiro termo e a razão, o -ésimo termo é dado por
Aqui:
-
é o termo de ordem . -
é o primeiro termo. -
é a razão da PG. -
é o índice do termo.
Usando essa fórmula para os termos conhecidos:
Passo 3
Determinar a razão
.
Dividindo
por
para eliminar
:
Substituindo os valores dados:
Logo
. A raiz cúbica de
é
, pois
. Portanto
Passo 4
Determinar o primeiro termo
.
Usar
. Substituindo
:
Portanto
.
Passo 5
Fórmula da soma dos
primeiros termos de uma PG e sua explicação.
Para somar os primeiros
termos de uma PG
define-se
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo as duas igualdades:
Fatorando:
Se
, isolando
obtém-se a fórmula útil:
Observação: a fórmula alternativa equivalente é
que é a mesma coisa multiplicando numerador e denominador por
. Aqui usarei a forma que for mais prática.
Passo 6
Aplicar a fórmula para
com
e
.
Usando a forma
:
Calcular passo a passo:
então o numerador fica
.
O denominador é .
Logo
O denominador é
Logo
Passo 7
Verificação intuitiva somando termo a termo (opcional, para conferir):
Com
e
os oito termos são:
Somando em ordem:
Confere com o resultado anterior.
Resposta
(b)