(FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a_{3}=40 e a_{6}=-320. A soma dos oito primeiros termos é:
(a) -1700
(b) -850
(c) 850
(d) 1700
(e) 750

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Em uma progressão geométrica (PG) sabe-se que a_{3}=40 e a_{6}=-320.
  • Pede-se a soma dos oito primeiros termos, isto é, S_{8}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • a_{3}=40.
  • a_{6}=-320.
  • Quer-se S_{8}.

Passo 2

O que é uma progressão geométrica e a fórmula do termo geral.
  • Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum r.
  • Se a_{1} é o primeiro termo e r a razão, o n-ésimo termo é dado por
a_{n}=a_{1}r^{\,n-1}.
Aqui:
  • a_{n} é o termo de ordem n.
  • a_{1} é o primeiro termo.
  • r é a razão da PG.
  • n é o índice do termo.
Usando essa fórmula para os termos conhecidos:
a_{3}=a_{1}r^{2}=40, \qquad a_{6}=a_{1}r^{5}=-320.

Passo 3

Determinar a razão r.
Dividindo a_{6} por a_{3} para eliminar a_{1}:
\frac{a_{6}}{a_{3}}=\frac{a_{1}r^{5}}{a_{1}r^{2}}=r^{3}.
Substituindo os valores dados:
r^{3}=\frac{-320}{40}=-8.
Logo r^{3}=-8. A raiz cúbica de -8 é -2, pois (-2)^{3}=-8. Portanto
r=-2.

Passo 4

Determinar o primeiro termo a_{1}.
Usar a_{3}=a_{1}r^{2}=40. Substituindo r=-2:
a_{1}= \frac{a_{3}}{r^{2}}=\frac{40}{(-2)^{2}}=\frac{40}{4}=10.
Portanto a_{1}=10.

Passo 5

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG e sua explicação.
Para somar os primeiros n termos de uma PG a_{1},a_{1}r,\ldots,a_{1}r^{n-1} define-se
S_{n}=a_{1}+a_{1}r+\cdots+a_{1}r^{n-1}.
Multiplicando ambos os lados por r:
rS_{n}=a_{1}r+a_{1}r^{2}+\cdots+a_{1}r^{n}.
Subtraindo as duas igualdades:
S_{n}-rS_{n}=a_{1}-a_{1}r^{n}.
Fatorando:
S_{n}(1-r)=a_{1}(1-r^{n}).
Se r\neq1, isolando S_{n} obtém-se a fórmula útil:
S_{n}=a_{1}\,\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Observação: a fórmula alternativa equivalente é
S_{n}=a_{1}\,\frac{r^{n}-1}{r-1},
que é a mesma coisa multiplicando numerador e denominador por -1. Aqui usarei a forma que for mais prática.

Passo 6

Aplicar a fórmula para n=8 com a_{1}=10 e r=-2.
Usando a forma \displaystyle S_{n}=a_{1}\frac{r^{n}-1}{r-1}:
S_{8}=10\cdot\frac{(-2)^{8}-1}{-2-1}.
Calcular passo a passo:
(-2)^{8}=256,
então o numerador fica 256-1=255.
O denominador é -2-1=-3.
Logo
S_{8}=10\cdot\frac{255}{-3}=10\cdot(-85)=-850.

Passo 7

Verificação intuitiva somando termo a termo (opcional, para conferir):
Com a_{1}=10 e r=-2 os oito termos são:
10,\\\ -20,\\\ 40,\\\ -80,\\\ 160,\\\ -320,\\\ 640,\\\ -1280.
Somando em ordem:
10-20=-10,\quad -10+40=30,\quad 30-80=-50,\quad -50+160=110,
110-320=-210,\quad -210+640=430,\quad 430-1280=-850.
Confere com o resultado anterior.

Resposta

(b) -850

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