(Itapipoca-UECE) Considere três números em progressão geométrica cuja soma é 21 e o produto é 64. O menor desses números é
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: três números formam uma progressão geométrica e
- a soma dos três números é
; - o produto dos três números é
.
- a soma dos três números é
- Pedido: determinar o menor desses três números (ou seja, qual é o menor termo da PG).
Passo 2
Escolher uma forma conveniente para representar os três termos da PG e traduzir as informações em equações.
- Sejam
o primeiro termo e a razão da progressão geométrica. Então os três termos são - A soma vale
, portanto - O produto vale
, portanto
Aqui uma explicação rápida: multiplicando
,
e
obtém-se
. Tudo em TeX para ficar certinho.
Passo 3
Simplificar a equação do produto para relacionar
e
.
- Da equação do produto:
- Podemos escrever isso como
- Tirando a raiz cúbica dos dois lados (explicação: a raiz cúbica de
é o número que elevado ao cubo dá ; como , a raiz cúbica é ): - Assim obtemos a relação simples
Passo 4
Substituir
na equação da soma e obter uma equação só em
.
- A equação da soma era
. Substituindo : - Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador: - Expandindo e juntando termos:
Passo 5
Resolver a equação quadrática
.
- Usar a fórmula quadrática: para
as raízes são . - Aqui
, , . O discriminante é Observação: . - Logo as raízes são
- Calculando as duas possibilidades:
Passo 6
Determinar
e os termos correspondentes para cada valor de
, e identificar o menor termo.
-
Lembrando que
: - Se
, então . Os termos são A soma e o produto confirmam. - Se
, então . Os termos são que é a mesma sequência, apenas em ordem decrescente: . Também soma e produto .
- Se
-
Em ambos os casos o conjunto de números é
. O menor desses números é .
Passo 7
Resumo didático rápido (para lembrar na prova):
- Representar três termos de uma PG por
é padrão e facilita expressar soma e produto. - Produto virou
, o que permitiu achar imediatamente pela raiz cúbica de . - Substituir
em função de na soma leva a uma quadrática em , que se resolve com o discriminante. - As duas razões encontradas (
e ) apenas invertem a ordem dos termos, não mudam o conjunto .
Resposta
(a) 1