(Itapipoca-UECE) Considere três números em progressão geométrica cuja soma é 21 e o produto é 64. O menor desses números é
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: três números formam uma progressão geométrica e
    • a soma dos três números é 21;
    • o produto dos três números é 64.
  • Pedido: determinar o menor desses três números (ou seja, qual é o menor termo da PG).

Passo 2

Escolher uma forma conveniente para representar os três termos da PG e traduzir as informações em equações.
  • Sejam a o primeiro termo e q a razão da progressão geométrica. Então os três termos são a,\qquad aq,\qquad aq^2.
  • A soma vale 21, portanto a(1+q+q^2)=21.
  • O produto vale 64, portanto a\cdot aq\cdot aq^2 = a^3 q^3 = 64.
Aqui uma explicação rápida: multiplicando a, aq e aq^2 obtém-se a^3 q^{1+2}=a^3 q^3. Tudo em TeX para ficar certinho.

Passo 3

Simplificar a equação do produto para relacionar a e q.
  • Da equação do produto: a^3 q^3 = 64.
  • Podemos escrever isso como (a q)^3 = 64.
  • Tirando a raiz cúbica dos dois lados (explicação: a raiz cúbica de 64 é o número que elevado ao cubo dá 64; como 64=4^3, a raiz cúbica é 4): a q = \sqrt[3]{64} = 4.
  • Assim obtemos a relação simples a q = 4 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4}{q}.

Passo 4

Substituir a=\dfrac{4}{q} na equação da soma e obter uma equação só em q.
  • A equação da soma era a(1+q+q^2)=21. Substituindo a=\dfrac{4}{q}: \frac{4}{q}\bigl(1+q+q^2\bigr)=21.
  • Multiplicando ambos os lados por q para eliminar o denominador: 4(1+q+q^2)=21q.
  • Expandindo e juntando termos: 4 + 4q + 4q^2 = 21q
4q^2 + 4q + 4 - 21q = 0
4q^2 - 17q + 4 = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática 4q^2 - 17q + 4 = 0.
  • Usar a fórmula quadrática: para \alpha q^2+\beta q+\gamma=0 as raízes são q=\dfrac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}}{2\alpha}.
  • Aqui \alpha=4, \beta=-17, \gamma=4. O discriminante é \Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma = (-17)^2 - 4\cdot4\cdot4 = 289 - 64 = 225.Observação: \sqrt{225}=15.
  • Logo as raízes são q = \frac{17 \pm 15}{8}.
  • Calculando as duas possibilidades: q_1 = \frac{17+15}{8} = \frac{32}{8} = 4,
q_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.

Passo 6

Determinar a e os termos correspondentes para cada valor de q, e identificar o menor termo.
  • Lembrando que a=\dfrac{4}{q}:
    • Se q=4, então a=\dfrac{4}{4}=1. Os termos são 1,\quad 1\cdot4=4,\quad 1\cdot4^2=16.A soma 1+4+16=21 e o produto 1\cdot4\cdot16=64 confirmam.
    • Se q=\dfrac{1}{4}, então a=\dfrac{4}{1/4}=16. Os termos são 16,\quad 16\cdot\frac{1}{4}=4,\quad 16\cdot\frac{1}{16}=1,que é a mesma sequência, apenas em ordem decrescente: 16,4,1. Também soma 21 e produto 64.
  • Em ambos os casos o conjunto de números é \{1,4,16\}. O menor desses números é 1.

Passo 7

Resumo didático rápido (para lembrar na prova):
  • Representar três termos de uma PG por a,aq,aq^2 é padrão e facilita expressar soma e produto.
  • Produto virou (aq)^3, o que permitiu achar aq imediatamente pela raiz cúbica de 64.
  • Substituir a em função de q na soma leva a uma quadrática em q, que se resolve com o discriminante.
  • As duas razões encontradas ( 4 e 1/4) apenas invertem a ordem dos termos, não mudam o conjunto \{1,4,16\}.

Resposta

(a) 1

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