(MARCK) O terceiro termo de uma progressão geométrica de termos positivos é \sqrt{2}. Sabe-se que o sétimo termo é 16 \sqrt{2}, a razão da progressão é?
(a) \sqrt{2}
(b) 2
(c) \frac{1}{2}
(d) \frac{1}{2}
(e) Nenhuma das respostas acima.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O terceiro termo da progressão geométrica é a_3=\sqrt{2}.
  • O sétimo termo da progressão geométrica é a_7=16\sqrt{2}.
  • Todos os termos são positivos.
    A pergunta é: qual é a razão r da progressão geométrica?

Passo 2

Vamos usar a fórmula geral do n-ésimo termo de uma progressão geométrica:
a_n = a_1 r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r é a razão.
Aplicando aos termos dados obtemos:
a_3 = a_1 r^{2} = \sqrt{2},
a_7 = a_1 r^{6} = 16\sqrt{2}.
Expliquei: em a_3 o expoente é 3-1=2; em a_7 o expoente é 7-1=6.

Passo 3

Eliminamos a_1 dividindo a segunda equação pela primeira:
\frac{a_7}{a_3}=\frac{a_1 r^{6}}{a_1 r^{2}}=r^{4}.
Agora substituímos os valores que o enunciado deu:
r^{4}=\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=16.

Passo 4

Resolvendo r^{4}=16. Tomando a raiz quarta dos dois lados:
r=\sqrt[4]{16}.
Fatorando 16=2^{4} fica claro:
r=\sqrt[4]{2^{4}}=2.
Observação importante: a equação r^{4}=16 tem outras raízes (por exemplo r=-2 e raízes complexas), mas como o enunciado diz que todos os termos são positivos, a razão deve ser positiva, então r=2.

Passo 5

Verificação rápida (opcional): a partir de a_3=\sqrt{2} e r=2,
a_1=\frac{a_3}{r^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Então
a_7=a_1 r^{6}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot 2^{6}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot 64=16\sqrt{2},
que coincide com o enunciado — está correto.

Resposta

(b) 2

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