(MARCK) O terceiro termo de uma progressão geométrica de termos positivos é
. Sabe-se que o sétimo termo é
, a razão da progressão é?
(a)
(b) 2
(c)
(d)
(e) Nenhuma das respostas acima.
(a)
(b) 2
(c)
(d)
(e) Nenhuma das respostas acima.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O terceiro termo da progressão geométrica é
. - O sétimo termo da progressão geométrica é
. - Todos os termos são positivos.
A pergunta é: qual é a razãoda progressão geométrica?
Passo 2
Vamos usar a fórmula geral do
-ésimo termo de uma progressão geométrica:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Aplicando aos termos dados obtemos:
Aplicando aos termos dados obtemos:
Expliquei: em
o expoente é
; em
o expoente é
.
Passo 3
Eliminamos
dividindo a segunda equação pela primeira:
Agora substituímos os valores que o enunciado deu:
Passo 4
Resolvendo
. Tomando a raiz quarta dos dois lados:
Fatorando
fica claro:
Observação importante: a equação
tem outras raízes (por exemplo
e raízes complexas), mas como o enunciado diz que todos os termos são positivos, a razão deve ser positiva, então
.
Passo 5
Verificação rápida (opcional): a partir de
e
,
Então
que coincide com o enunciado — está correto.
Resposta
(b)