(SEDUC-RN-2011) Se \left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \in \mathbb{N}} é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a 125 e cuja razão é igual a \frac{1}{25}, então, a sequência definida por b_{n}=\log _{5} a_{n} é uma progressão
(a) aritmética, cujo primeiro termo é igual a 3 , e cuja razão é igual a -2
(b) aritmética, cujo primeiro termo é 25 , e cuja razão é igual a -5
(c) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 25 , e cuja razão é igual a \frac{1}{2}
(d) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 3 , e cuja razão é igual a -2
(e) geométrica, cujo primeiro termo é 25 , e cuja razão é igual a -5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A sequência \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} é uma progressão geométrica com primeiro termo a_{1}=125 e razão r=\dfrac{1}{25}.
  • Define-se b_{n}=\log_{5} a_{n} para cada n.
O que o exercício pede:
  • Identificar que tipo de progressão é a sequência \left(b_{n}\right) (aritmética ou geométrica) e determinar, se for o caso, o primeiro termo e a razão (ou termos correspondentes) — isto é, escolher a alternativa correta entre (a)–(e).

Passo 2

Recordando a forma geral de uma progressão geométrica: o termo geral de uma PG com primeiro termo a_{1} e razão r é
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1}.
Aqui, substituindo os dados do enunciado,
a_{n}=125\left(\dfrac{1}{25}\right)^{\,n-1}.
Agora é útil escrever os números como potências de 5. Observa-se que 125=5^{3} e \dfrac{1}{25}=5^{-2}. Substituindo:
a_{n}=5^{3}\bigl(5^{-2}\bigr)^{\,n-1}.

Passo 3

Usando a regra de potências \bigl(5^{-2}\bigr)^{\,n-1}=5^{-2(n-1)}, obtemos
a_{n}=5^{3}\cdot 5^{-2(n-1)}=5^{\,3-2(n-1)}.
Simplificando o expoente:
3-2(n-1)=3-2n+2=5-2n,
portanto
a_{n}=5^{\,5-2n}.
Agora aplicamos b_{n}=\log_{5}a_{n}. Usamos a propriedade dos logaritmos \log_{5}\bigl(5^{x}\bigr)=x. Assim,
b_{n}=\log_{5}\bigl(5^{\,5-2n}\bigr)=5-2n.

Passo 4

Temos a expressão explícita
b_{n}=5-2n.
Vamos escrever b_{n} na forma padrão de uma progressão aritmética, que é
b_{n}=b_{1}+d(n-1),
onde b_{1} é o primeiro termo e d é a razão. Calcule b_{1}:
b_{1}=5-2\cdot 1=3.
Para encontrar a razão d, observe a diferença entre termos consecutivos ou compare com a forma geral. Reescrevendo b_{n}:
b_{n}=5-2n=3-2(n-1)=b_{1}+(-2)(n-1).
Logo a razão é d=-2. Portanto \left(b_{n}\right) é uma progressão aritmética com primeiro termo 3 e razão -2.
Comentário didático curto (fórmula geral): se a_{n}=a_{1}r^{\,n-1} e b_{n}=\log_{k}a_{n} então, pelas propriedades dos logaritmos,
b_{n}=\log_{k}a_{1}+(n-1)\log_{k}r,
ou seja, b_{n} é sempre uma progressão aritmética (quando as expressões estão definidas), com primeiro termo \log_{k}a_{1} e razão \log_{k}r. Aqui \log_{5}125=3 e \log_{5}\tfrac{1}{25}=\log_{5}5^{-2}=-2.

Passo 5

Conclusão prática e incentivo: a sequência \left(b_{n}\right) é uma progressão aritmética, primeiro termo 3 e razão -2. Boa! Esse tipo de transformação (log de uma PG) é uma dica clássica de prova — quando vir log de termos de uma PG, já pense em PG → PA.

Resposta

(a)

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