(SEDUC-RN-2011) Se
é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a 125 e cuja razão é igual a
, então, a sequência definida por
é uma progressão
(a) aritmética, cujo primeiro termo é igual a 3 , e cuja razão é igual a -2
(b) aritmética, cujo primeiro termo é 25 , e cuja razão é igual a -5
(c) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 25 , e cuja razão é igual a
(d) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 3 , e cuja razão é igual a -2
(e) geométrica, cujo primeiro termo é 25 , e cuja razão é igual a -5
(a) aritmética, cujo primeiro termo é igual a 3 , e cuja razão é igual a -2
(b) aritmética, cujo primeiro termo é 25 , e cuja razão é igual a -5
(c) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 25 , e cuja razão é igual a
(d) geométrica, cujo primeiro termo é igual a 3 , e cuja razão é igual a -2
(e) geométrica, cujo primeiro termo é 25 , e cuja razão é igual a -5
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A sequência
é uma progressão geométrica com primeiro termo e razão . - Define-se
para cada .
O que o exercício pede:
- Identificar que tipo de progressão é a sequência
(aritmética ou geométrica) e determinar, se for o caso, o primeiro termo e a razão (ou termos correspondentes) — isto é, escolher a alternativa correta entre (a)–(e).
Passo 2
Recordando a forma geral de uma progressão geométrica: o termo geral de uma PG com primeiro termo
e razão
é
Aqui, substituindo os dados do enunciado,
Agora é útil escrever os números como potências de
. Observa-se que
e
. Substituindo:
Passo 3
Usando a regra de potências
, obtemos
Simplificando o expoente:
portanto
Agora aplicamos
. Usamos a propriedade dos logaritmos
. Assim,
Passo 4
Temos a expressão explícita
Vamos escrever
na forma padrão de uma progressão aritmética, que é
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Calcule
:
Para encontrar a razão
, observe a diferença entre termos consecutivos ou compare com a forma geral. Reescrevendo
:
Logo a razão é
. Portanto
é uma progressão aritmética com primeiro termo
e razão
.
Comentário didático curto (fórmula geral): se
e
então, pelas propriedades dos logaritmos,
ou seja,
é sempre uma progressão aritmética (quando as expressões estão definidas), com primeiro termo
e razão
. Aqui
e
.
Passo 5
Conclusão prática e incentivo: a sequência
é uma progressão aritmética, primeiro termo
e razão
. Boa! Esse tipo de transformação (log de uma PG) é uma dica clássica de prova — quando vir log de termos de uma PG, já pense em PG → PA.
Resposta
(a)