(IFRN) Considere a progressão geométrica (
) de termos não nulos e de razão
, tal que
. O limite da soma dos quadrados dos termos dessa progressão é representado por
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá uma progressão geométrica de termos não nulos e razão
, com
. As informações relevantes são:
- Primeiro termo:
. - Razão:
, com . - Os termos são não nulos (portanto
).
O que o enunciado pede: - Determinar o limite da soma dos quadrados dos termos da progressão geométrica, isto é, o valor de
ou equivalentemente o valor da série infinita
Passo 2
Primeiro, lembro qual é a fórmula do
-ésimo termo de uma progressão geométrica. Se a progressão é
com razão
, então o
-ésimo termo é dado por
Explicação rápida (para não deixar dúvida): multiplicando
por
obtém-se
; multiplicando novamente por
obtém-se
; seguindo isso chega-se à potência
para o termo
.
Passo 3
Agora calculo o quadrado do
-ésimo termo. Elevando
ao quadrado:
Aqui usei a propriedade de potências
e
.
Passo 4
A soma parcial dos quadrados dos primeiros
termos é
Como
é constante em relação à soma, fatoro fora:
Passo 5
Reconheço a soma dentro como uma soma geométrica. Reindexando com
ou observando que os expoentes variam de
a
, tenho
Isto é uma progressão geométrica de razão
. Como
, temos
, portanto
e a série geométrica converge quando
.
Passo 6
Vou recordar a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica de razão
:
Breve demonstração (útil para a prova): multiplica-se ambos os lados por
e nota-se que termos se cancelam, ficando
no numerador.
Passo 7
Aplicando essa fórmula com
na expressão de
:
Escrevendo de forma limpa,
Passo 8
Agora tomo o limite quando
. Como
, tem-se
quando
. Portanto
Interpretação: a série infinita
converge exatamente para esse valor porque o termo independente que multiplicava a soma geométrica ficou como
e a soma infinita da geométrica é
quando
.
Passo 9
Conferindo com as alternativas fornecidas, a expressão obtida corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)