(IFRN) Considere a progressão geométrica ( a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots ) de termos não nulos e de razão q, tal que -1<q<1. O limite da soma dos quadrados dos termos dessa progressão é representado por
(a) \frac{a_{1}}{(1-q)^{2}}
(b) \frac{\left(a_{1}\right)^{2}}{1-q^{2}}
(c) \left(\frac{a_{1}}{1-q}\right)^{2}
(d) \frac{\left(a_{1}\right)^{2}}{1+q^{2}}

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica de termos não nulos e razão q, com -1<q<1. As informações relevantes são:
  • Primeiro termo: a_{1}.
  • Razão: q, com -1<q<1.
  • Os termos são não nulos (portanto a_{1}\neq0).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar o limite da soma dos quadrados dos termos da progressão geométrica, isto é, o valor de
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}
ou equivalentemente o valor da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{2}.

Passo 2

Primeiro, lembro qual é a fórmula do n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Se a progressão é (a_{1},a_{2},\dots) com razão q, então o n-ésimo termo é dado por
a_{n}=a_{1}\,q^{\,n-1}.
Explicação rápida (para não deixar dúvida): multiplicando a_{1} por q obtém-se a_{2}; multiplicando novamente por q obtém-se a_{3}; seguindo isso chega-se à potência q^{n-1} para o termo a_{n}.

Passo 3

Agora calculo o quadrado do n-ésimo termo. Elevando a_{n} ao quadrado:
a_{n}^{2}=(a_{1}\,q^{\,n-1})^{2}=(a_{1})^{2}\,q^{2(n-1)}.
Aqui usei a propriedade de potências (xy)^{2}=x^{2}y^{2} e (q^{n-1})^{2}=q^{2(n-1)}.

Passo 4

A soma parcial dos quadrados dos primeiros n termos é
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} (a_{1})^{2}\,q^{2(k-1)}.
Como (a_{1})^{2} é constante em relação à soma, fatoro fora:
S_{n}=(a_{1})^{2}\sum_{k=1}^{n} q^{2(k-1)}.

Passo 5

Reconheço a soma dentro como uma soma geométrica. Reindexando com j=k-1 ou observando que os expoentes variam de 0 a n-1, tenho
\sum_{k=1}^{n} q^{2(k-1)}=\sum_{j=0}^{n-1} (q^{2})^{j}.
Isto é uma progressão geométrica de razão r=q^{2}. Como -1<q<1, temos 0\le q^{2}<1, portanto |r|<1 e a série geométrica converge quando n\to\infty.

Passo 6

Vou recordar a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica de razão r\neq1:
\sum_{j=0}^{n-1} r^{j}=\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Breve demonstração (útil para a prova): multiplica-se ambos os lados por 1-r e nota-se que termos se cancelam, ficando 1-r^{n} no numerador.

Passo 7

Aplicando essa fórmula com r=q^{2} na expressão de S_{n}:
S_{n}=(a_{1})^{2}\cdot\frac{1-(q^{2})^{n}}{1-q^{2}}.
Escrevendo de forma limpa,
S_{n}=\frac{(a_{1})^{2}\bigl(1-q^{2n}\bigr)}{1-q^{2}}.

Passo 8

Agora tomo o limite quando n\to\infty. Como 0\le q^{2}<1, tem-se (q^{2})^{n}=q^{2n}\to 0 quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} S_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(a_{1})^{2}\bigl(1-q^{2n}\bigr)}{1-q^{2}}=\frac{(a_{1})^{2}}{1-q^{2}}.
Interpretação: a série infinita \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^{2} converge exatamente para esse valor porque o termo independente que multiplicava a soma geométrica ficou como (a_{1})^{2} e a soma infinita da geométrica é 1/(1-q^{2}) quando |q^{2}|<1.

Passo 9

Conferindo com as alternativas fornecidas, a expressão obtida corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) \displaystyle \frac{(a_{1})^{2}}{1-q^{2}}

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