Utilizando a expansão em série de potências das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
usando séries de potência. Aqui o conteúdo principal é a expansão em série de Taylor da função exponencial e vamos precisar dela até os termos que influenciem o limite.
Passo 2
A série de Taylor (ou série de Maclaurin) da função
em torno de
é dada por:
Isso nos permite aproximar
por um polinômio quando
é pequeno.
Passo 3
Agora, definimos
. Substituindo na série de
e mantendo termos até a ordem que possa afetar nosso limite, temos:
Então:
Passo 4
Dividindo por
para montar o nosso limite, fica:
Quando
, todos os termos acima vão para zero, pois são múltiplos de
ou de potências maiores.
Passo 5
Portanto, o valor do limite é 0.
Resposta
0