Utilizando a expansão em série de potências das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:
lim x 0 e^x^3-1x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0e^x^3 - 1x^2 usando séries de potência. Aqui o conteúdo principal é a expansão em série de Taylor da função exponencial e vamos precisar dela até os termos que influenciem o limite.

Passo 2

A série de Taylor (ou série de Maclaurin) da função e^u em torno de u=0 é dada por:
e^u = sumn=0^infty u^nn! = 1 + u + u^22! + u^33! + cdots
Isso nos permite aproximar e^u por um polinômio quando u é pequeno.

Passo 3

Agora, definimos u = x^3. Substituindo na série de e^u e mantendo termos até a ordem que possa afetar nosso limite, temos:
e^x^3 = 1 + x^3 + (x^3)^22! + cdots = 1 + x^3 + x^62 + O(x^9)
Então:
e^x^3 - 1 = x^3 + x^62 + O(x^9)

Passo 4

Dividindo por x^2 para montar o nosso limite, fica:
e^x^3 - 1x^2 = x^3 + x^62 + O(x^9)x^2 = x + x^42 + O(x^7)
Quando xto0, todos os termos acima vão para zero, pois são múltiplos de x ou de potências maiores.

Passo 5

Portanto, o valor do limite é 0.

Resposta

0

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